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ensuite, à cause de $d\Phi =-d\psi$ et $d\Psi =-d\varphi ,$

${\begin{aligned}dx=&\xi (pd\varphi +qd\psi )-x'(rd\psi +pd\varpi )+x''(qd\varpi -rd\varphi ),\\dy=&\eta (pd\varphi +qd\psi )-y'(rd\psi +pd\varpi )+y''(qd\varpi -rd\varphi ),\\dz=&\zeta (pd\varphi +qd\psi )-z'(rd\psi +pd\varpi )\,+z''(qd\varpi -rd\varphi )\,;\end{aligned}}$

et enfin

${\begin{aligned}xdy-ydx=&-\zeta \ \,\left[qrd\varphi -prd\psi -\left(p^{2}+q^{2}\right)d\varpi \right]\\&+z'\ \left[pqd\psi +\left(p^{2}+r^{2}\right)d\varphi -qrd\varpi \right]\\&-z''\left[pqd\varphi +\left(q^{2}+r^{2}\right)d\psi +prd\varpi \right],\\\\zdx-xdz=&-\eta \ \,\left[qrd\varphi -prd\psi -\left(p^{2}+q^{2}\right)d\varpi \right]\\&+y'\ \left[pqd\psi +\left(p^{2}+r^{2}\right)d\varphi -qrd\varpi \right]\\&-y''\left[pqd\varphi +\left(q^{2}+r^{2}\right)d\psi +prd\varpi \right],\\\\ydz-zdy=&-\xi \,\ \ \left[qrd\varphi -prd\psi -\left(p^{2}+q^{2}\right)d\varpi \right]\\&+x'\ \left[pqd\psi +\left(p^{2}+r^{2}\right)d\varphi -qrd\varpi \right]\\&-x''\left[pqd\varphi +\left(q^{2}+r^{2}\right)d\psi +prd\varpi \right].\end{aligned}}$

Donc, si l’on multiplie ces trois dernières équations par $\delta m,$ qu’ensuite on les intègre par rapport à la caractéristique $\sum ,$ en ne faisant varier que les quantités $p,q,r,$ et regardant les autres comme constantes, et qu’on fasse, pour abréger,

${\begin{array}{lll}\sum qr\delta m=\mathrm {F} ,&\sum pr\delta m=\mathrm {G} ,&\sum pq\delta m=\mathrm {H} ,\\\sum \left(q^{2}+r^{2}\right)\delta m=\mathrm {L} ,&\sum \left(p^{2}+r^{2}\right)\delta m=\mathrm {M} ,&\sum \left(p^{2}+q^{2}\right)\delta m=\mathrm {N} ,\end{array}}$

on aura, en vertu des équations (1), (2), (3) ci-dessus, ces trois-ci

(5)

$\left\{{\begin{aligned}&-\zeta \ \,\left(\mathrm {F} {\frac {d\varphi }{dt}}\,-\mathrm {G} {\frac {d\psi }{dt}}\,-\mathrm {N} {\frac {d\varpi }{dt}}\right)\\&+z'\ \left(\mathrm {H} {\frac {d\psi }{dt}}+\mathrm {M} {\frac {d\varphi }{dt}}-\mathrm {F} {\frac {d\varpi }{dt}}\right)\\&-z''\left(\mathrm {H} {\frac {d\varphi }{dt}}\,+\mathrm {L} {\frac {d\psi }{dt}}\ +\mathrm {G} {\frac {d\varpi }{dt}}\right)=\mathrm {A} ,\\\end{aligned}}\right.$