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Cela posé, je suppose encore

${\begin{aligned}f\ \ z+g\ \ y+h\ \ x=&\mathrm {Z} ,\\f'\ z+g'\,y+h'\ x=&\mathrm {Y} ,\\f''z+g''y+h''x=&\mathrm {X} ,\\\end{aligned}}$

j’aurai d’abord, en ajoutant ensemble les carrés de ces trois équations,

$z^{2}+y^{2}+x^{2}=\mathrm {Z^{2}+Y^{2}+X^{2}} ,$

à cause des relations établies entre les quantités $f,g,h,f',g',h',\ldots$ (2) ; ainsi l’on aura par l’équation (14)

$\mathrm {Z^{2}+Y^{2}+X^{2}} =n^{2}.$

Ensuite l’équation (15) deviendra

$k\mathrm {Z} =\theta .$

Or si l’on cherche la valeur de $\mathrm {Y} d\mathrm {X} -\mathrm {X} d\mathrm {Y} ,$ on la trouvera égale à

${\begin{aligned}&(g'h''-h'g'')(ydx-xdy)+(h'f''-f'h'')(xdz-zdx)\\&\quad +(f'g''-g'f'')(zdy-ydz)\,;\end{aligned}}$

mais, par les formules du n^o 7, on aura

$g'h''-h'g''=f,\quad h'f''-f'h''=g,\quad f'g''-g'f''=h,$

donc l’équation (16) deviendra

$k(\mathrm {Y} d\mathrm {X} -\mathrm {X} d\mathrm {Y} )=\Theta dt.$

Ainsi l’on a maintenant entre $\mathrm {X,Y}$ et $\mathrm {Z}$ les mêmes équations qu’on a eues ci-dessus entre $x,y,z$ dans le cas de $\mathrm {B} =0$ et $\mathrm {C} =0,$ avec cette seule différence qu’il y a ici $k$ à la place de $\mathrm {A} .$ On aura donc sur-le-champ

$\mathrm {X} ={\frac {\sqrt {k^{2}n^{2}-\theta ^{2}}}{k}}\cos \mathrm {T} ,\quad \mathrm {Y} ={\frac {\sqrt {h^{2}n^{2}-\theta ^{2}}}{k}}\sin \mathrm {T} ,\quad \mathrm {Z} ={\frac {\theta }{k}}.$

Ayant les valeurs de $\mathrm {X,Y,Z} ,$ on tirera des formules précédentes celles de $x,y,z,$ et l’on aura (7) par les relations qui doivent avoir lieu entre