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a, par Ia quatrième des équations ci-dessus,

$\beta =\mathrm {A} +a{\frac {g'}{g}}+b{\frac {g''}{g}},$

et par la septième

$\gamma =\mathrm {A} +a{\frac {h'}{h}}+b{\frac {h''}{h}}.$

Qu’on mültiplie, la première des mêmes équations par la quatrième, la deuxième par la cinquième, la troisième par la sixième, et qu’on ajoute ces trois produits ensemble, on aura (à cause de $fg+f'g'+f''g''=0$ par les formules du n^o 7) cette équation

${\begin{aligned}&(\mathrm {A} f\ \ +af'+bf'')(\mathrm {A} g\ \,+ag'+bg'')\\+&(\mathrm {B} f'\ +af\ +cf'')(\mathrm {B} g'\ +ag\ +cg'')\\+&(\mathrm {C} f''+bf\ \,+cf'\ )(\mathrm {C} g''+bg\ +cg'\ )=0,\end{aligned}}$

c’est-à-dire en divisant par $fg,$

${\begin{aligned}&\left(\mathrm {A} \ +a{\frac {f'}{f}}\ +b{\frac {f''}{f}}\right)\left(\mathrm {A} \ +a{\frac {g'}{g}}\ +b{\frac {g''}{g}}\right)\\+&\left(\mathrm {B} {\frac {f'}{f}}\,+a\ \ +c{\frac {f''}{f}}\right)\left(\mathrm {B} {\frac {g'}{g}}+ag+c{\frac {g''}{g}}\right)\\+&\left(\mathrm {C} {\frac {f''}{f}}+bf+c{\frac {f'}{f}}\right)\left(\mathrm {C} {\frac {g''}{g}}+b\ \ \,+c{\frac {g'}{g}}\right)=0,\end{aligned}}$

On trouvera de même, en ajoutant ensemble les produits de la première par la septième, de la deuxième par la huitième et de la troisième par la neuvième, et ayant attention que $fh+f'h'+f''h''=0,$ on trouvera, dis-je, celle-ci

${\begin{aligned}&(\mathrm {A} f\ \,+af'+bf'')(\mathrm {A} h\ \,+ah'+bh'')\\+&(\mathrm {B} f'\ +af\ +cf'')(\mathrm {B} h'\ +ah\ +ch'')\\+&(\mathrm {C} f''+bf\,\ +cf'\ )(\mathrm {C} h''+bh\ +ch'\ )=0,\end{aligned}}$

mais on aura par les formules du n^o 7 appliquées au cas présent

$h=f'g''-g'f'',\quad h'=f''g-g''f,\quad h''=fg'-gf'\,;$

donc si l’on substitue ces valeurs dans l’équation précédente, et qu’on la