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Et employant les transformations de la Remarque première, ces trois équations deviendront

${\begin{aligned}&f\ \ \left[{\frac {d\Pi }{dt}}-(\beta -\gamma )\Psi \Phi \right]+g\ \ \left[{\frac {d\Psi }{dt}}-(\gamma -\alpha )\Pi \Phi \right]+h\ \ \left[{\frac {d\Phi }{dt}}-(\alpha -\beta )\Pi \Psi \right]=0,\\&f'\ \left[{\frac {d\Pi }{dt}}-(\beta -\gamma )\Psi \Phi \right]+g'\,\left[{\frac {d\Psi }{dt}}-(\gamma -\alpha )\Pi \Phi \right]+h'\ \left[{\frac {d\Phi }{dt}}-(\alpha -\beta )\Pi \Psi \right]=0,\\&f''\left[{\frac {d\Pi }{dt}}-(\beta -\gamma )\Psi \Phi \right]+g''\left[{\frac {d\Psi }{dt}}-(\gamma -\alpha )\Pi \Phi \right]+h''\left[{\frac {d\Phi }{dt}}-(\alpha -\beta )\Pi \Psi \right]=0,\\\end{aligned}}$

lesquelles étant encore ajoutées ensemble après avoir été multipliées respectivement par $f,f',f'',$ par $g,g',g''$ et par $h,h',h'',$ donneront enfin ces trois-ci

${\begin{aligned}{\frac {d\Pi }{dt}}-(\beta -\gamma )\Psi \Phi =&0,\\{\frac {d\Psi }{dt}}-(\gamma -\alpha )\Pi \Phi =&0,\\{\frac {d\Phi }{dt}}-(\alpha -\beta )\Pi \Psi =&0,\end{aligned}}$

qui serviront à déterminer les trois variables $\Pi ,\Psi ,\Phi .$

Or il est visible qu’en multipliant la première par $\Pi dt,$ la seconde par $\Psi dt$ et la troisième par $\Phi dt,$ et les ajoutant ensemble, on aura une équation intégrale dont l’intégrale sera

$\Pi ^{2}+\Psi ^{2}+\Phi ^{2}=\mathrm {const} .\,;$

et multipliant de même la première par $\alpha \Pi dt,$ la seconde par $\beta \Psi dt,$ et la troisième par $\gamma \Phi dt,$ on aura, après les avoir ajoutées ensemble, une nouvelle équation intégrable, et dont l’intégrale sera

$\alpha \Pi ^{2}+\beta \Psi ^{2}+\gamma \Phi ^{2}=\mathrm {const} .$

Ces deux équations sont les mêmes qu’on a trouvées dans la Remarque 1, et les mêmes que les équations (11) de la Solution précédente, dont la seconde renferme le principe de la conservation des forces vives.

12. Remarque IV. — Si l’on supposait que chaque particule du corps $\delta m$ fût sollicitée par des forces quelconques, il n’y aurait qu’à réduire ces