Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 3.djvu/616

l’on a de plus entre celles-ci trois équations (2) par lesquelles on peut en déterminer trois par les trois autres. En effet, l’équation

$x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}=a$

donne d’abord

$z'={\sqrt {a-x'^{2}-y'^{2}}}\,;$

ensuite l’équation

$x'x''+y'y''+z'z''=b$

donne

$y'y''+z'z''=b-x'x'',$

dont le carré, étant retranché de l’équation

$y''^{2}+z''^{2}=a-x''^{2}$

multipliée par $y'^{2}+z'^{2},$ donne celle-ci

$(y'z''-z'y'')^{2}=(a-x''^{2})\left(y'^{2}+z'^{2}\right)-(b-x'x'')^{2}\,;$

ainsi, combinant ces deux équations

${\begin{aligned}y'y''-z'z''=&b-x'x'',\\y'z''-z'y''=&{\sqrt {(a-x''^{2})\left(y'^{2}+z'^{2}\right)-(b-x'x'')^{2}}},\end{aligned}}$

on trouvera $y''$ et $z''\,:$ en sorte que les trois quantités $z',y''$ et $z''$ seront données par ces trois autres $x',y'$ et $x''.$ Moyennant quoi il n’y aura, à proprement parler, que trois variables ; et la difficulté se réduira à déterminer ces variables par le temps $t.$

13. Remarque V. — Puisqu’on a, en général, dans la Solution précédente

$x=\xi r+x'q+x''p,\quad y=\eta r+y'q+y''p,\quad z=\zeta r+z'q+z''p.$

il est clair qu’en faisant

$p=0,\quad q=0,\quad r=1,$

on aura

$x=\xi ,\quad y=\eta ,\quad z=\zeta \,;$

que de même on aura

$x=x',\quad y=y',\quad z=z',$

en faisant

$r=0,\quad p=0,\quad q=1\,;$