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dont les deux surfaces, l’extérieure et l’intérieure, soient semblables, son attraction sur un point quelconques de la surface intérieure sera nulle ; car l’attraction du solide entier serait la même que celle de la partie qui occupe la cavité.

8. Corollaire II. — Considérons maintenant de plus près les valeurs des attractions suivant les lignes $a,b,c\,;$ et, comme tout se réduit à avoir les valeurs des quantités $\mathrm {A,B,C} ,\ldots ,$ voyons comment on pourra les trouver.

Pour faciliter beaucoup cette recherche, je commencerai par remarquer, en général, que si l’on a une fonction $\mathrm {P}$ du $\sin p$ et de $\cos ^{2}p,$ et qu’on demande la valeur de l’intégrale de $\mathrm {P} \cos pdp$ prise en sorte qu’elle soit nulle lorsque $p=0,$ et complète lorsque $p=180^{\circ },$ cette valeur sera nécessairement nulle ; car comme

$\sin(180^{\circ }-p)=\sin p\quad {\text{et}}\quad \cos(180^{\circ }-p)=-\cos p,$

il est visible que les valeurs de $\mathrm {P} \cos p$ qui répondent à $p$ et à $180^{\circ }-p$ seront égales et de signes contraires ; d’où il s’ensuit que dans la suite des éléments $\mathrm {P} \cos pdp$ qui répondent à toutes les valeurs de $p$ depuis $p=0$ jusqu’à $p=180^{\circ },$ les mêmes termes se trouveront deux fois, mais avec des signes différents, en sorte que la somme totale sera toujours nulle.

De là on doit conclure que si $\mathrm {P}$ est une fonction de $\sin p,\cos ^{2}p$ et de $\sin q,\cos ^{2}q,$ et qu’on demande l’intégrale complète de $\mathrm {P} \cos pdpdq$ ou de $\mathrm {P} \cos qdpdq$ ou de $\mathrm {P} \cos p\cos qdpdq,$ en faisant varier successivement les angles $p$ et $q,$ depuis $0$ jusqu’à $180$ degrés, chacune de ces intégrales sera nulle ; car on aura, en faisant d’abord varier $p,$

$\int \mathrm {P} \cos pdp=0,$

et faisant varier $q,$ on aura de même

$\int \mathrm {P} \cos qdq=0\,;$