et pour le triangle
dont les côtés sont
on aura l’aire
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}{\sqrt {a'a''-b^{2}}}={\frac {\sqrt {\alpha }}{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b60698ee08a7503f4dfc9a24bbcc563e9ab59aea)
Reste encore à considérer le triangle
dont les côtés sont ![{\displaystyle {\sqrt {c}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05cfa9dcb3e9a0100f1a3d07e7325d223f8f8062)
nommant
l’aire de ce triangle, on aura par la formule ci-dessus
![{\displaystyle 16\mathrm {E} ^{2}=4cc'-(c+c'-c'')^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6d4a223f410ebfeee5d8af0099ab57896c544a8)
mettons pour
leurs valeurs
![{\displaystyle a'+a''-2b,\quad a+a''-2b',\quad a+a'-2b'',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4c829b6cb1a53e9b1f099d4f99ad3949c09b1fe)
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}4\mathrm {E} ^{2}=&(a'+a''-2b)(a+a''-2b')-(a''-b-b'+b'')^{2}\\=&aa'+aa''+a'a''-2ab-2a'b'-2a''b''+2bb'+2bb''+2b'b''\\&\qquad -b^{2}-b'^{2}-b''^{2}\\=&\alpha +\alpha '+\alpha ''+2\beta +2\beta '+2\beta ''\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/639efea85c6a11a3868e1c08bc2e6a5e88c1fdac)
donc
![{\displaystyle \mathrm {E} ={\frac {\sqrt {\alpha +\alpha '+\alpha ''+2\beta +2\beta '+2\beta ''}}{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05c934447e2a6f46614e73eb4eb8d3e7438a1996)
Ainsi les aires des quatre faces de la pyramide s’expriment d’une manière fort simple par les quantités
(1) ; on a pour celles des trois faces latérales les quantités
![{\displaystyle {\frac {\sqrt {\alpha ''}}{2}},\quad {\frac {\sqrt {\alpha '}}{2}},\quad {\frac {\sqrt {\alpha }}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd7adf0cce91162ea519a87b532e1112f8db5176)
et pour l’aire de la base la quantité
![{\displaystyle {\frac {\sqrt {\alpha +\alpha '+\alpha ''+2\beta +2\beta '+2\beta ''}}{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17f52c000eb235894080b37f8145fc2156633fba)
13. Voyons maintenant comment doit être exprimée la solidité de la pyramide. On sait que toute pyramide est égale au tiers du produit de sa base par sa hauteur ; or nous avons déjà trouvé la valeur de la base
ainsi, nommant
la hauteur de notre pyramide, c’est-à-dire la valeur de