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et pour le triangle $\mathrm {M'LM''} ,$ dont les côtés sont ${\sqrt {a'}},{\sqrt {a''}},{\sqrt {c}},$ on aura l’aire

${\frac {1}{2}}{\sqrt {a'a''-b^{2}}}={\frac {\sqrt {\alpha }}{2}}.$

Reste encore à considérer le triangle $\mathrm {MM'M''} ,$ dont les côtés sont ${\sqrt {c}},$${\sqrt {c'}},{\sqrt {c''}}\,;$ nommant $\mathrm {E}$ l’aire de ce triangle, on aura par la formule ci-dessus

$16\mathrm {E} ^{2}=4cc'-(c+c'-c'')^{2}\,;$

mettons pour $c,c',c''$ leurs valeurs

$a'+a''-2b,\quad a+a''-2b',\quad a+a'-2b'',$

on aura

${\begin{aligned}4\mathrm {E} ^{2}=&(a'+a''-2b)(a+a''-2b')-(a''-b-b'+b'')^{2}\\=&aa'+aa''+a'a''-2ab-2a'b'-2a''b''+2bb'+2bb''+2b'b''\\&\qquad -b^{2}-b'^{2}-b''^{2}\\=&\alpha +\alpha '+\alpha ''+2\beta +2\beta '+2\beta ''\,;\end{aligned}}$

donc

$\mathrm {E} ={\frac {\sqrt {\alpha +\alpha '+\alpha ''+2\beta +2\beta '+2\beta ''}}{2}}.$

Ainsi les aires des quatre faces de la pyramide s’expriment d’une manière fort simple par les quantités $\alpha ,\alpha ',\alpha '',\beta ,\beta ',\beta '',$ (1) ; on a pour celles des trois faces latérales les quantités

${\frac {\sqrt {\alpha ''}}{2}},\quad {\frac {\sqrt {\alpha '}}{2}},\quad {\frac {\sqrt {\alpha }}{2}},$

et pour l’aire de la base la quantité

${\frac {\sqrt {\alpha +\alpha '+\alpha ''+2\beta +2\beta '+2\beta ''}}{2}}.$

13. Voyons maintenant comment doit être exprimée la solidité de la pyramide. On sait que toute pyramide est égale au tiers du produit de sa base par sa hauteur ; or nous avons déjà trouvé la valeur de la base $\mathrm {E} \,;$ ainsi, nommant $h$ la hauteur de notre pyramide, c’est-à-dire la valeur de