mais de manière que leur somme demeure constante ; on aurait donc ces deux équations différentielles
![{\displaystyle (\beta '\beta ''-\alpha \beta )d\beta +(\beta \beta ''-\alpha '\beta ')d\beta '+(\beta \beta '-\alpha ''\beta '')d\beta ''=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/380e3937efbfbba35e0e92d69b6bed8a8afb81b6)
![{\displaystyle d\beta +d\beta '+d\beta ''=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/114a5a22949f4e9cbfcae43bc378e53a633a31f0)
d’où chassant
et égalant à zéro les coefficients de
et
on tire ces deux équations de condition
![{\displaystyle \beta '\beta ''-\alpha \beta =\beta \beta ''-\alpha '\beta '=\beta \beta '-\alpha ''\beta '',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/588001c3d4fc4b527a66d7a2cb4b61013bb1bccc)
qui renferment la solution du Problème. Ces deux équations se réduisent par les formules du no 2 à
![{\displaystyle \mathrm {B=B'=B''} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e140616bdc106029270978513447a311418ede5e)
et par celles du no 3 à
![{\displaystyle b=b'=b''\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09c8fd3d9fb1ab60ededa7a8a334358a80cf6efe)
d’où l’on voit que les trois quantités
doivent être égales entre elles. Ainsi, comme les quantités
sont supposées données ainsi que la somme
on aura ces quatre équations
![{\displaystyle a'a''-b^{2}=\alpha ,\quad aa''-b^{2}=\alpha ',\quad aa'-b^{2}=\alpha '',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98c82f5057396c0d9caca211e7e140e76a065ec8)
![{\displaystyle 3b^{2}-(a+a'+a'')b=\beta +\beta '+\beta '',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/713e659dbcf7a51cb3bdd462a96a694c7a562b94)
d’où il faudra tirer
et ![{\displaystyle b.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aef051eb30c89e5493d672f6479566c673b0890a)
Si l’on fàit pour plus de simplicité
![{\displaystyle \beta +\beta '+\beta ''=\varepsilon ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3e49ed96b286b2e782e5c22ae3105854e8d052c)
on a, en divisant la dernière équation par ![{\displaystyle b,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdb96677ba71b937617ca8751955f884f6306b64)
![{\displaystyle a+a'+a''=3b-{\frac {\varepsilon }{b}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bd2803f8b57764c7208193810591d79170d9805)
et prenant les carrés
![{\displaystyle a^{2}+a'^{2}+a''^{2}+2(aa'+aa''+a'a'')=9b^{2}-6\varepsilon +{\frac {\varepsilon ^{2}}{b^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c390bd28a251fdb0e659d2e58abbdc94b305985a)
or les trois premières équations donnent
![{\displaystyle aa'=\alpha ''+b^{2},\quad aa''=\alpha '+b^{2},\quad a'a''=\alpha +b^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a046f817710ea3edab34821bac5c426fa65998f6)