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au dehors de la pyramide, pour lequel les coordonnées rectangles soient $p,q,r,$ et supposons que le carré de la distance de ce point au sommet $\mathrm {L}$ de la pyramide soit $f,$ que les carrés des distances du même point aux points $\mathrm {M,M',M''}$ de la base de la pyramide soient $g,g',g''\,;$ il est facile de concevoir qu’on aura

${\begin{aligned}&p^{2}+q^{2}+r^{2}=f,\\&(p-x\ \ )^{2}+(q-y\ \ )^{2}+(r-z\ \,)^{2}=g,\\&(p-x'\ )^{2}+(q-y'\,)^{2}+(r-z'\,)^{2}=g',\\&(p-x'')^{2}+(q-y'')^{2}+(r-z'')^{2}=g'',\end{aligned}}$

d’où, en faisant, pour abréger,

$k={\frac {a+f-g}{2}},\quad k'={\frac {a'+f-g'}{2}},\quad k''={\frac {a''+f-g''}{2}},$

on tire (1) ces trois équations

${\begin{aligned}&px\ \,+qy\ \,+rz\ \,=k,\\&px'\,+qy'\,+rz'\,=k',\\&px''+qy''+rz''=k'',\end{aligned}}$

par lesquelles on pourra déterminer les valeurs des coordonnées $p,q,r\,;$ et l’on trouvera par les règles connues de l’élimination, en mettant les quantités $\xi ,\xi ',\ldots$ à la place de $y'z''-z'y'',\ zy''-yz'',\ldots$ (1) et la quantité $\Delta$ à la place de $xy'z''+yz'x''+\ldots$ (3),

${\begin{aligned}p=&{\frac {k\xi +k'\xi '+k''\xi ''}{\Delta }},\\q=&{\frac {k\eta +k'\eta '+k''\eta ''}{\Delta }},\\r=&{\frac {k\zeta +k'\zeta '+k''\zeta ''}{\Delta }}.\end{aligned}}$

19. Or il faut que ces valeurs de $p,q,r$ satisfassent à la première équation

$p^{2}+q^{2}+r^{2}=f\,;$