Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 3.djvu/691

centre de gravité de la pyramide, ces expressions fort simples

$s={\frac {x+x'+x''}{4}},\quad t={\frac {y+y'+y''}{4}},\quad u={\frac {z+z'+z''}{4}}.$

35. Si l’on imagine qu’il y ait aux quatre coins de la pyramide des corps de masses quelconques égales entre elles, il est visible que le moment de ces corps, que je suppose égaux à $\mathrm {Q} ,$ par rapport à un plan passant par le sommet de la pyramide et perpendiculaire à l’axe des $x,$ sera

$\mathrm {Q} (x+x'+x''),$

ce qui, étant divisé par la somme des masses $4\mathrm {Q} ,$ donnera

${\frac {x+x'+x''}{4}}$

pour la distance du centre de gravité de ces quatre corps au même plan. On trouvera de même que la distance du même centre au plan passant par le sommet et perpendiculaire à l’axe des $y$ sera exprimée par

${\frac {y+y'+y''}{4}},$

et qu’enfin la distance de ce même centre au plan passant par le sommet et perpendiculaire à l’axe de $z$ sera

${\frac {z+z'+z''}{4}}.$

Or ces distances ne sont autre chose que les coordonnées rectangles qui déterminent la position du centre dont il s’agit par rapport aux mêmes axes ; donc les coordonnées du centre de gravité des quatre corps $\mathrm {Q}$ placés aux quatre coins de la pyramide sont (numéro précédent) les mêmes que celles du centre de gravité de toute la pyramide ; par conséquent ces deux centres coïncident, ce qui fournit ce Théorème de Statique assez remarquable par sa simplicité : Le centre de gravité de toute pyramide triangulaire est le même que celui de quatre corps égaux qu’on imaginerait placés aux quatre angles de la pyramide.

36. Si l’on veut déterminer la position du centre de gravité par ses