2o Soit
on déterminera
par ces conditions que
soit pair ou impair suivant que
le sera, et qu’il ne surpasse pas le nombre
après quoi l’on déterminera les valeurs correspondantes de
et
par ces conditions, que
et
soient deux facteurs du nombre
et que chacun d’eux ne soit pas moindre que
(10 et 11).
13. Remarque I. — Si l’on avait
alors
étant égal à zéro, on ne pourrait prendre que
et ensuite on aurait aussi
de sorte que l’un des nombres
ou
serait nul et l’autre serait tout ce qu’on voudrait. Mais il faut remarquer que dans ce cas la formule
![{\displaystyle \mathrm {B} t^{2}+\mathrm {C} tu+\mathrm {D} u^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51017901aa2e14778847bcf186e59055053e51a6)
se réduit à celle-ci
![{\displaystyle {\frac {(2\mathrm {B} t+\mathrm {C} u)^{2}}{4\mathrm {B} }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/501ac9ebc3dd8f194107f142562a36a3966a053e)
de sorte que, comme
peut représenter un nombre quelconque (2), les diviseurs de la formule proposée peuvent aussi être quelconques.
14. Remarque II. — La même chose doit avoir lieu, en général, lorsque la formule
![{\displaystyle \mathrm {B} t^{2}+\mathrm {C} tu+\mathrm {D} u^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51017901aa2e14778847bcf186e59055053e51a6)
est le produit de deux formules rationnelles du premier degré telles que
et
dont chacune peut représenter des nombres quelconques (2) ; c’est ce qui arrive quand
est égal à un nombre carré pris négativement ; car supposant
![{\displaystyle \mathrm {4BD-C^{2}=-H^{2}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8971412900acfea5170b35910a1b1b370cb3535)
on a
![{\displaystyle \mathrm {B} t^{2}+\mathrm {C} tu+\mathrm {D} u^{2}={\frac {\left[2\mathrm {B} t+(\mathrm {C+H} )u\right]\left[2\mathrm {B} t+(\mathrm {C-H} )u\right]}{4\mathrm {B} }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f80d2b1ea4eb4c78788de0722ad54a07437ca11)
Or, quoique dans ce cas tout nombre puisse être un diviseur de la formule dont il s’agit, cependant si l’on cherche les formules des diviseurs