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de $m$ dans l’expression de $\mathrm {Q} ,$ elle deviendra

$\mathrm {Q} =\mu \left(p\mathrm {N} ^{2}+2q\mathrm {N} n+rn^{2}\right)+p\mathrm {M'N} +q(\mathrm {M} 'n+\mathrm {N} m')+rm'n,$

de sorte qu’en faisant, pour abréger,

$\mathrm {Q} '=p\mathrm {M'N} +q(\mathrm {M} 'n+\mathrm {N} m')+rm'n,$

on aura

$\mathrm {Q=\mu R+Q'} .$

Or il faut que $\mathrm {Q}$ soit $<\mathrm {R} \,;$ donc, puisque $\mu$ est $=$ ou $>2,$ il est clair que cette condition ne saurait avoir lieu à moins que les deux quantités $\mu \mathrm {R}$ et $\mathrm {Q} '$ ne soient de signes différents et que $\mathrm {Q} '$ ne soit en même temps $>\mathrm {R} ,$ abstraction faite des signes.

Maintenant on aura

$y=(\mu \mathrm {N+M'} )s+\mathrm {N} x,\quad z=(\mu n+m')s+nx\,;$

de sorte que si l’on fait

$x'=\mu s+x,$

on aura

$y=\mathrm {M} 's+\mathrm {N} x',\quad z=m's+nx',$

et la substitution de ces valeurs dans la formule

$py^{2}+2qyz+rz^{2}$

donnera la nouvelle transformée

$\mathrm {P} 's^{2}+2\mathrm {Q} 'sx'+\mathrm {R} x'^{2},$

en supposant

${\begin{aligned}\mathrm {P} '=&p\mathrm {M} '^{2}+2q\mathrm {M} 'm'+rm'^{2},\\\mathrm {Q} '=&p\mathrm {M'N} +q(\mathrm {M} 'n+\mathrm {N} m')+rm'n,\end{aligned}}$

et

$\mathrm {R} \ =p\mathrm {N} ^{2}+2q\mathrm {N} n+rn^{2},$

comme plus haut.

Or à cause de

$\mathrm {M} n-\mathrm {N} m=\pm 1,$

on aura

$(\mu \mathrm {N+M'} )n-\mathrm {N} (\mu n+m')=\pm 1,$