Ensuite on fera
![{\displaystyle y''=m'''y'''+y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/300fd50fd6d74c210d5e45bb60d1c0fe957cc9d5)
et l’on aura cette troisième transformée
![{\displaystyle r'''y^{\scriptscriptstyle {\text{IV2}}}+2q'''y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}y'''-r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}y'''^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a2a40431c6bee76e16e6ed244ab61970c6fb830)
dans laquelle
![{\displaystyle {\begin{aligned}q'''=&q''+r'''m''',\\r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=&r''-2q''m'''-r'''m'''^{2}={\frac {a-q'''^{2}}{r'''}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34da19cc7091d579f68abf64dea745844432f804)
On prendra pour
un nombre entier positif et tel que
ne soit pas
et si la valeur de
n’est pas en même temps
on sera assuré que la transformée trouvée aura les conditions requises.
4o On déterminera
en sorte que
![{\displaystyle m'''<{\frac {{\sqrt {a}}+q''}{r'''}},\quad m'''>{\frac {{\sqrt {a}}+q''}{r'''}}-1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80cb000e9e1e13398ff3c2b33a1111d2620b59c0)
Ensuite on fera
![{\displaystyle y'''=m^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+y^{\scriptscriptstyle {\text{V}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e46e23bcf3581a7c2de037638944e34cb31f07a7)
ce qui donnera la quatrième transformée
![{\displaystyle r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}y^{\scriptscriptstyle {\text{IV2}}}+2q^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}y^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}-r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}y^{\scriptscriptstyle {\text{V2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b46bd6cf7788edfcb9abab5ff13719e3a00392e)
où
![{\displaystyle {\begin{aligned}q^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=&q'''-r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}m^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},\\r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}=&r'''+2q'''m^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}m^{\scriptscriptstyle {\text{IV2}}}={\frac {a-q^{\scriptscriptstyle {\text{IV2}}}}{r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/220de9e7d6fe0bff86d3af85bb0a4573aeab7e9c)
On prendra
tel que
ne soit pas
et si
n’est pas en même temps
la transformée aura les conditions requises.
5o On déterminera
De cette manière on trouvera successivement toutes les transformées de la formule proposée, dans lesquelles les conditions prescrites pour-