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ainsi l’on aura

$q'=m',\quad r''={\frac {2-q'^{2}}{1}}\,;$

or il est clair qu’on ne peut rendre $q'<r'<1\,;$ ainsi l’on passera à une seconde transformée.

Pour cela, on prendra donc

$m'<{\frac {\sqrt {2}}{1}},\quad m'>{\frac {\sqrt {2}}{1}}-1,$

c’est-à-dire $m'=1,$ ce qui donnera

$q'=1,\quad r''={\frac {2-1}{1}}=1\,;$

ensuite on aura

$q''=q'-r''m''=1-m'',\quad r'''={\frac {2-q''^{2}}{1}}\,;$

or, pour que $q''$ ne soit pas $>{\frac {r''}{2}}>{\frac {1}{2}},$ il faut prendre $m''=1,$ ce qui donne

$q''=0,\quad r'''=2\,;$

de sorte que, comme $q''$ est en même temps non $>{\frac {r''}{2}},$ on aura la transformée

$r'''y''^{2}+2q''y''y'''-r''y'''^{2},$

c’est-à-dire

$2y''^{2}-y'''^{2},$

qui aura les conditions requises ; or cette transformée est semblable à la formule

$2z^{2}-y^{2},$

de sorte que les deux formule

$y^{2}-2z^{2}\quad {\text{et}}\quad 2z^{2}-y^{2},$

que notre méthode générale donne pour les diviseurs des nombres de la forme $t^{2}-2u^{2},$ reviennent à la même, comme nous l’avons déjà remarqué (20, II).