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licum de M. Wallis (Wallisii Opera, t. II, p. 857) ; le cinquième ne se trouve, à la vérité, que dans les Lettres de M. Frenicle à M. Fermat, imprimées dans les Œuvres mathématiques de Fermat, pages 168, 170 ; mais il paraît, par ces Lettres mêmes, que ce dernier l’avait aussi déjà trouvé de son côté.

Quant à la démonstration de ces Théorèmes, M. Fermat ne l’a point donnée, du moins on n’en trouve aucune trace dans les Ouvrages de ce savant qui nous sont restés ; mais M. Euler a entrepris d’y suppléer, et a réussi en effet à démontrer les deux premiers Théorèmes, et même le troisième, quoiqu’il n’ait encore publié que la démonstration des deux premiers (voyez les Nouveaux Commentaires de Pétersbourg, t. V, VI, VIII).

À l’égard des autres Théorèmes de M. Fermat, et surtout du quatrième, M. Euler avoue qu’il n’a pu parvenir à le démontrer ; il en est de même de quelques autres Théorèmes semblables que M. Euler a trouvés par induction (voyez t. VI, p. 221, et t. VIII, p. 127 des Commentaires cités), et que voici :

7^o Tous les nombres premiers des formes $20n+1$ et $20n+9$ sont de la forme $y^{2}+5z^{2}.$

8^o Tous les nombres premiers des formes $24n+1$ et $24n+7$ sont de la forme $y^{2}+6z^{2}.$

9^o Tous les nombres premiers des formes $24n+5$ et $24n+11$ sont de la forme $2y^{2}+3z^{2}.$

10^o Tous les nombres premiers de ces formes $28n+1,\ 28n+9,$$28n+11,\ 28n+15,\ 28n+23,\ 28n+25$ sont de la forme $y^{2}+7z^{2}.$

On trouve encore un plus grand nombre de pareils Théorèmes dans le tome XIV des anciens Commentaires de Pétersbourg, mais dont aucun n’a été démontré jusqu’à présent.

Les principes établis jusqu’ici peuvent servir à démontrer la plupart de ces Théorèmes et même à en trouver de nouveaux ; mais il faut pour cela poser les Lemmes suivants.