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d’où l’on tire

$a={\frac {\int t^{2}d\mathrm {T} -\int u^{2}d\mathrm {U} }{4{\sqrt {m}}}}.$

Connaissant ainsi les valeurs des cinq quantités $a,b,c,g,h,$ il n’y aura plus qu’à les substituer dans l’équation $\mathrm {V} =0,$ et l’on aura

$z={\frac {\int t^{2}d\mathrm {T} -2t\int td\mathrm {T} +t^{2}\mathrm {T} }{4{\sqrt {m}}}}-{\frac {\int u^{2}d\mathrm {U} -2u\int ud\mathrm {U} +u^{2}\mathrm {U} }{4{\sqrt {m}}}},$

ce qui se réduit à cette forme plus simple

$z={\frac {\int dt\int \mathrm {T} dt-\int du\int \mathrm {U} du}{2{\sqrt {m}}}}\,;$

or, $\mathrm {T}$ étant une fonction quelconque de $t$ ou $x+y{\sqrt {m}},$ et $\mathrm {U}$ une fonction quelconque de $u$ ou $x-y{\sqrt {m}},$ il est visible que $\int dt\int \mathrm {T} dt$ et $\int du\int \mathrm {U} du$ seront aussi des fonctions quelconques des mêmes quantités. De sorte qu’on aura, en général,

$z=\Phi \left(x+y{\sqrt {m}}\right)+\Psi \left(x-y{\sqrt {m}}\right),$

ce qui s’accorde avec ce que l’on sait depuis longtemps.

Au reste on voit par cet Exemple, qui est d’ailleurs un des plus simples, que la méthode dont il s’agit, quoique directe et générale, est en quelque façon plus curieuse qu’utile, à cause des difficultés qui peuvent se rencontrer dans l’intégration des équations de condition ; c’est pourquoi nous ne nous arrêterons pas davantage sur ce sujet.

66. Il est beaucoup plus aisé de tirer l’intégrale générale aux premières différences de l’intégrale complète du premier ordre. Car nous avons vu (60) que, si $\mathrm {Z} =0$ est l’intégrale complète du premier ordre de l’équation du second ordre $\mathrm {Z} '=0,$ il suffit qu’il y ait dans l’équation $\mathrm {Z} =0$ deux constantes arbitraires $a$ et $b\,;$ et il est facile de prouver que cette équation satisfera également à l’équation $\mathrm {Z} '=0$ en y regardant $a$