Ce sera la même chose à l’égard des arcs
et
en changeant seulement
en
en
et
en
18. Je remarque maintenant que le cas de
aura lieu lorsqu’on prendra pour le plan de projection celui de l’orbite de la planète
dans l’instant où
car alors l’arc de grand cercle
coïncidera avec l’arc
(fig. 1, page 114). par conséquent l’angle
au commencement du temps
sera
et l’angle
deviendra l’angle même
ainsi l’on aura dans ce cas
et
par conséquent (15)
![{\displaystyle \cos \mathrm {M} ={\frac {\sin \mathrm {P} +\sin \mathrm {Q} \cos \omega }{\sin \omega }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0a8731e414dcfb4266452db996f1fe4faf497a9)
mais
donc
![{\displaystyle \mathrm {\cos M=\cos Q\quad {\text{et}}\quad M=Q} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecc76b2882162c2f030b5ac89c1f977b1b0ceb07)
En général, puisqu’on a
![{\displaystyle \cos \mathrm {M} ={\frac {\sin \mathrm {P} \cos \Xi +\sin \mathrm {Q} \cos \Psi }{\sin \omega }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5821339d7ce31a73e82b888045c553baadb1bb38)
où
et
sont les angles
au commencement du temps
et que
(15), on aura
![{\displaystyle \cos \mathrm {M} =\cos \mathrm {Q} \cos \Xi +{\frac {\sin \mathrm {Q} }{\sin \omega }}(\cos \Psi -\cos \omega \cos \Xi )\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adc99e8fba8e2f31cf84925757200d9878d56871)
mais dans le triangle sphérique
on a, en nommant
le côté ![{\displaystyle \mathrm {AL} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a837c64f361fabaf25e77d21e023dea1f5b4b88e)
![{\displaystyle \cos \Psi =\cos \Xi \cos \omega -\sin \Xi \sin \omega \cos \mathrm {H} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e72d07ee96deaa0b3957dd47f9092f07d26b994e)
donc
![{\displaystyle \cos \mathrm {M} =\cos \mathrm {Q} \cos \Xi -\sin \mathrm {Q} \sin \Xi \cos \mathrm {H} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7f6047eaccd73e0bd802d483dcad7fa9056d927)
ou bien
![{\displaystyle \cos \mathrm {M} =\cos \mathrm {Q} -2\sin {\frac {\Xi }{2}}\left(\cos \mathrm {Q} \cos {\frac {\Xi }{2}}+\sin \mathrm {Q} \cos {\frac {\Xi }{2}}\cos \mathrm {H} \right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a9327cd98b63e5383e8864086734e3330160a31)
à cause de
![{\displaystyle \cos \Xi =1-2\sin ^{2}{\frac {\Xi }{2}}\quad {\text{et}}\quad \sin \Xi =2\sin {\frac {\Xi }{2}}\cos {\frac {\Xi }{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03b06cc0efcdfdeb8412f1f2025635a7e19ecd79)
d’où il est facile de conclure
1o Que tant que l’angle
sera positif, comme on le suppose