pliant ensuite par
![{\displaystyle \sin ^{2}\varepsilon \sin ^{2}\zeta \sin ^{2}\eta ,\ \ {\text{ou bien par}}\ \ \left(1-\cos ^{2}\varepsilon \right)\left(1-\cos ^{2}\zeta \right)\left(1-\cos ^{2}\eta \right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c1c32eb5971cb698bdf7a3c10d941597a41fe13)
on aura
![{\displaystyle \left\{{\begin{aligned}&\left(1-\cos ^{2}\varepsilon \right)\left(1-\cos ^{2}\zeta \right)\left(1-\cos ^{2}\eta \right)\\&\quad -\left(1-\cos ^{2}\eta \right)(\cos \alpha -\cos \varepsilon \cos \zeta )^{2}\\&\quad -\left(1-\cos ^{2}\varepsilon \right)(\cos \gamma -\cos \zeta \cos \eta )^{2}\\&\quad -\left(1-\cos ^{2}\zeta \right)(\cos \beta +\cos \varepsilon \cos \eta )^{2}\\&\quad -2(\cos \alpha -\cos \varepsilon \cos \zeta )(\cos \gamma -\cos \zeta \cos \eta )(\cos \beta +\cos \varepsilon \cos \eta )\end{aligned}}\right\}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf69d64b8f229f6c1545e5a58f5137685b75fb48)
développant les termes et effaçant ce qui se détruit, on aura cette équation
![{\displaystyle \left\{{\begin{aligned}1&-\cos ^{2}\alpha -\cos ^{2}\beta -\cos ^{2}\gamma -\cos ^{2}\varepsilon -\cos ^{2}\zeta -\cos ^{2}\eta \\&+\cos ^{2}\alpha \cos ^{2}\eta +\cos ^{2}\beta \cos ^{2}\zeta +\cos ^{2}\gamma \cos ^{2}\varepsilon \\&+2\cos \alpha \cos \varepsilon \cos \zeta -2\cos \beta \cos \varepsilon \cos \eta \\&+2\cos \gamma \cos \zeta \cos \eta -2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma \\&+2\cos \alpha \cos \beta \cos \zeta \cos \eta -2\cos \alpha \cos \gamma \cos \varepsilon \cos \eta \\&+2\cos \beta \cos \gamma \cos \varepsilon \cos \zeta \end{aligned}}\right\}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0eab5f09ab08a4a31dcd8b878b741f126d7c333b)
28. Puisque les quantités
sont supposées connues, on pourra donc par l’équation précédente déterminer une des trois inconnues
par les deux autres, et réduire par ce moyen la solution du Problème à la recherche de ces deux dernières inconnues.
Pour cela on mettra l’équation dont il s’agit sous cette forme
![{\displaystyle \left\{{\begin{aligned}1&-\cos ^{2}\alpha -\cos ^{2}\beta -\cos ^{2}\gamma -2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma \\&-\left(1-\cos ^{2}\gamma \right)\cos ^{2}\varepsilon -\left(1-\cos ^{2}\beta \right)\cos ^{2}\zeta -\left(1-\cos ^{2}\alpha \right)\cos ^{2}\eta \\&+2(\cos \alpha +\cos \beta \cos \gamma )\cos \varepsilon \cos \zeta \\&-2(\cos \beta +\cos \alpha \cos \gamma )\cos \varepsilon \cos \eta \\&+2(\cos \gamma +\cos \alpha \cos \beta )\cos \zeta \cos \eta \end{aligned}}\right\}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f9d937d1681dc8f0cb12286b434f801b6075349)
d’où il est facile de tirer la valeur de
par exemple, en
et
et, substituant ensuite cette valeur dans les deux dernières équations du no 26, on aura deux équations différentielles du premier ordre entre les trois indéterminées
et
mais l’intégration de ces équations demeurera toujours très-difficile.
29. Cependant si l’on considère que les trois équations différentielles du no 26 ne renferment que trois radicaux différents, on verra qu’il est