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l’équation ${\frac {dy}{da}}=0,$ servira aussi à déterminer les intégrales particulières de la même équation différentielle $\mathrm {Z} =0\,;$ ce qui est aisé à démontrer par les mêmes principes que nous avons établis ci-dessus. L’équation ${\frac {dx}{da}}=0$ donnera le plus souvent les mêmes résultats que l’équation ${\frac {dy}{da}}=0\,;$ mais il y a des cas où ces équations donnent des résultats différents il faudra donc avoir égard à ces deux équations, pour pouvoir trouver toutes les intégrales particulières de l’équation $\mathrm {Z} =0,$ et il est facile de démontrer qu’il n’y a pas d’autres combinaisons possibles qui puissent fournir des intégrales de cette espèce non comprises dans l’intégrale complète $\mathrm {V} =0.$

6. Pour éclaircir la théorie précédente par quelques exemples, je prends d’abord l’équation différentielle

$xdx+ydy=dy{\sqrt {x^{2}+y^{2}-b^{2}}},$

dont nous avons déjà vu que l’intégrale complète est

$x^{2}-2ay-a^{2}-b^{2}=0,$

où $a$ est la constante arbitraire. Faisant donc varier d’abord $y$ et $a,$ on aura

${\frac {dy}{da}}=-{\frac {a+y}{a}},$

et faisant varier $x$ et $a,$ on a

${\frac {dx}{da}}={\frac {a+y}{x}}\,;$

les deux équations.

${\frac {dy}{da}}=0,\quad {\frac {dx}{da}}=0$

donnent également

$a+y=0,\quad {\text{d’où}}\quad a=-y\,;$

ce qui étant substitué dans l’intégrale complète, on a

$x^{2}+y^{2}-b^{2}=0,$