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plus que les trois indéterminées $\mathrm {A,B}$ et $\mu$ qui dépendront des valeurs initiales de $x,y,z.$

32. Il est bon de remarquer que si ces quantités $x,y,z$ sont une fois très-petites, elles le seront toujours, pourvu que $m$ soit une quantité réelle, et que par conséquent $m^{2}$ soit une quantité positive ; ce qui est évident par les valeurs de $x,y,z$ trouvées ci-dessus ; mais si $m^{2}$ est une quantité négative, alors $m$ sera une quantité imaginaire, et le sinus de $mt+\mu$ contiendra des exponentielles réelles qui croîtront avec le temps $t\,;$ de sorte que la solution cessera d’être exacte lorsque les valeurs de $x,y,z$ ne seront plus très-petites.

Or il est visible que la valeur de $m^{2}$ sera toujours positive tant que les quantités $a,b,c$ le seront, parce que l’on a

$m^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc-2ac=(a-c)^{2}+b^{2}+2ab+2bc\,;$

et il en sera de même tant que $a$ et $c$ ne seront pas de signes différents de $b,$ parce que parmi les trois produits $ab,bc,-ac$ il y en aura toujours deux positifs et un négatif ; mais si $a$ et $c$ sont à la fois de signes différents de $b,$ alors ces trois produits seront tous négatifs, et la quantité $m^{2}$ sera nécessairement négative ; en effet, supposant $a$ et $c$ positifs et $b$ négatif, on aura

$m^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}-2ab-2bc-2ac\,;$

or on sait que cette quantité est nécessairement négative, puisqu’elle est égale à moins seize fois le carré de l’aire du triangle dont les côtés seraient ${\sqrt {a}},{\sqrt {b}},$${\sqrt {c}}\,;$ ce sera la même chose lorsque $b$ sera positif et $a,c$ négatifs.

33. Quant à la recherche des quantités $\cos \varepsilon ,\cos \zeta ,\cos \eta ,$ je ne vois aucun moyen de la simplifier, et l’on ne gagnerait rien en supposant même que les angles $\varepsilon ,\zeta ,\eta$ fussent très-petits ; en effet, supposant

$2\sin ^{2}{\frac {\varepsilon }{2}}=\varpi ,\quad 2\sin ^{2}{\frac {\zeta }{2}}=\rho ,\quad 2\sin ^{2}{\frac {\eta }{2}}=\sigma ,$