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37. S’il y avait une troisième orbite appartenant à un autre corps $\mathrm {R} ,$ sur laquelle les orbites $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q}$ dussent rétrograder avec les vitesses $\mathrm {(P,R)} ,$$\mathrm {(Q,R)} ,$ tandis que cette même orbite rétrograderait sur chacune d’elles avec les vitesses $\mathrm {(R,P),(R,Q)} ,$ comme dans le n^o 24 ; alors il est facile de prouver qu’en nommant $z$ la longitude du nœud de l’orbite dont il s’agit et $\zeta$ son inclinaison sur le plan fixe, et supposant ensuite

$r=\sin \zeta \sin z,\quad r'=\sin \zeta \cos z,$

on aurait les formules suivantes

${\begin{aligned}dp\ =&\left(-p'{\sqrt {1-q^{2}-q'^{2}}}+q'{\sqrt {1-p^{2}-p'^{2}}}\right)(\mathrm {P,Q} )dt,\\+&\left(-p'{\sqrt {1-r^{2}-r'^{2}}}+r'{\sqrt {1-p^{2}-p'^{2}}}\right)(\mathrm {P,R} )dt,\\dp'=&\left(+p\ {\sqrt {1-q^{2}-q'^{2}}}-q\ {\sqrt {1-p^{2}-p'^{2}}}\right)(\mathrm {P,Q} )dt\\+&\left(+p\ {\sqrt {1-r^{2}-r'^{2}}}-r\ {\sqrt {1-p^{2}-p'^{2}}}\right)(\mathrm {P,R} )dt,\\dq\ =&\left(-q'{\sqrt {1-p^{2}-p'^{2}}}+p'{\sqrt {1-q^{2}-q'^{2}}}\right)(\mathrm {Q,P} )dt\\+&\left(-q'{\sqrt {1-r^{2}-r'^{2}}}+r'{\sqrt {1-q^{2}-q'^{2}}}\right)(\mathrm {Q,R} )dt,\\dq'=&\left(+q\ {\sqrt {1-p^{2}-p'^{2}}}-p\ {\sqrt {1-q^{2}-q'^{2}}}\right)(\mathrm {Q,P} )dt\\+&\left(+q\ {\sqrt {1-r^{2}-r'^{2}}}-r\ {\sqrt {1-q^{2}-q'^{2}}}\right)(\mathrm {Q,R} )dt,\\dr\ =&\left(-r'{\sqrt {1-q^{2}-q'^{2}}}+q'{\sqrt {1-r^{2}-r'^{2}}}\right)(\mathrm {R,Q} )dt,\\+&\left(-r'{\sqrt {1-p^{2}-p'^{2}}}+p'{\sqrt {1-r^{2}-r'^{2}}}\right)(\mathrm {R,P} )dt,\\dr'=&\left(+r\ {\sqrt {1-q^{2}-q'^{2}}}-q\ {\sqrt {1-r^{2}-r'^{2}}}\right)(\mathrm {R,Q} )dt\\+&\left(+r\ {\sqrt {1-p^{2}-p'^{2}}}-p\ {\sqrt {1-r^{2}-r'^{2}}}\right)(\mathrm {R,P} )dt.\end{aligned}}$

Et ainsi de suite, quel que soit le nombre des orbites mobiles les unes sur les autres.

38. Quoique les équations que nous venons de trouver soient encore trop compliquées pour pouvoir être intégrées en général, elles ont cependant cet avantage qu’elles se simplifient beaucoup dans le cas où l’on suppose les inclinaisons très-petites, et qu’elles peuvent être traitées alors par les méthodes connues.