Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 4.djvu/154

pendant qu’on peut encore ajouter quelque chose au travail de cet illustre Géomètre, et traiter le même sujet d’une manière plus directe, plus simple et surtout plus générale c’est l’objet des Recherches que je vais donner dans ce Mémoire ; on y trouvera des méthodes nouvelles pour l’intégration des équations linéaires aux différences finies et partielles, et l’application de ces méthodes à plusieurs Problèmes intéressants du Calcul des probabilités ; mais il n’est question ici que des équations dont les coefficients sont constants, et je réserve pour un autre Mémoire l’examen de celles qui ont des coefficients variables.

Article I^er. — Des suites récurrentes simples, ou de l’intégration des équations linéaire aux différences finies entre deux variables.

Quoique la théorie des suites récurrentes ordinaires soit assez connue, je crois devoir commencer par la traiter en peu de mots pour servir comme d’introduction à celle des suites récurro-récurrentes qui fait le principal objet de ce Mémoire. D’ailleurs j’aurai soin de n’employer, autant qu’il sera possible, que des méthodes nouvelles et plus simples que celles qu’on a déjà.

1. Soit la série

$y_{0},\ y_{1},\ y_{2},\ y_{3},\ldots ,y_{x},\ y_{x+1},\ y_{x+2},\ldots ,$

dans laquelle on ait constamment cette équation linéaire entre $n$ termes successifs

(A)

$\mathrm {A} y_{x}+\mathrm {B} y_{x+1}+\mathrm {C} y_{x+2}+\ldots +\mathrm {N} _{x+n}=0,$

$\mathrm {A,B,C,\ldots ,N}$ étant des coefficients constants quelconques ; ce sera une série récurrente simple de l’ordre $n,$ et l’équation (A) sera l’équation différentielle finie qu’il s’agit d’intégrer pour avoir l’expression du terme générale $y_{x}$ de la série proposée.