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Donc, par la formule du n^o 8, on aura, en général,

$y_{x,t}=y_{x-t,0}+ty_{x-t-1,0}+{\frac {t(t+1)}{2}}y_{x-t-2,0}+\ldots .$

Mais en faisant $x=0$ on doit avoir, par l’hypothèse, $y_{0,t}=0,$ en supposant $t=1,2,3,\ldots \,;$ donc il faudra que l’on ait, en général,

$y_{-t,0}=ty_{-t-1,0}+{\frac {t(t+1)}{2}}y_{-t-2,0}+\ldots ,$

quel que soit $t,$ pourvu que ce soit un nombre entier positif ; d’où il est facile de conclure que l’on doit avoir

$y_{-1,0}=0,\quad y_{-2,0}=0,\ldots ,$

et, en général,

$y_{s,0}=0,$

tant que $s$ sera entier négatif, ce qui est le cas du n^o 9, dans lequel nous avons vu que la série devient finie.

On aura donc, d’après la formule de ce numéro,

$y_{x,t}=y_{x-t,0}+ty_{x-t-1,0}+{\frac {t(t+1)}{2}}y_{x-t-2,0}+\ldots +{\frac {t(t+1)\ldots (x-1)}{1.2\ldots (x-t)}}y_{0,0}.$

Telle est l’expression générale d’un terme quelconque de la Table de Pascal, en supposant que les termes qui forment le premier rang horizontal, et qui sont représentés par $y_{0,0},y_{1,0},y_{2,0},\ldots ,$ soient quelconques. Mais dans le cas de la Table de Pascal ces termes sont tous égaux à l’unité ; substituant donc l’unité à la place de ces quantités dans la formule ci-dessus, on aura

$y_{x,t}=1+t+{\frac {t(t+1)}{2}}+{\frac {t(t+1)(t+2)}{2.3}}+\ldots +{\frac {t(t+1)\ldots (x-1)}{1.2\ldots (x-t)}},$

ce qui se réduit, comme l’on sait, à cette expression plus simple

$y_{x,t}={\frac {(t+1)(t+2)(t+3)\ldots x}{1.2.3\ldots (x-t)}}.$