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ce qui peut se réduire à cette forme plus simple

$y_{x,t}={\frac {(t+1)(t+2)\ldots x}{1.2\ldots (x-t)}}p^{t}(1-p)^{x-t}.$

Donc, changeant $x$ en $a,$ $t$ en $b,$ on aura pour le sort cherché

$y_{a,b}={\frac {(b+1)(b+2)\ldots a}{1.2\ldots (a-b)}}p^{b}(1-p)^{a-b}.$

On aurait pu, au reste, déduire immédiatementla solution de ce dernier Problème de celle du numéro précédent ; car il est facile de comprendre que, si de la probabilité d’amener un événement donné $b$ fois au moins en $a$ coups on ôte celle de l’amener $b+1$ fois au moins en un pareil nombre de coups, il doit rester la probabilité d’amener le même événement $b$ fois seulement en $a$ coups ; d’où il s’ensuit que, si l’on désigne par $\mathrm {Y} _{a,b}$ la valeur de $y_{a,b}$ du n^o 49, on aura pour le cas du Corollaire présent

$y_{a,b}=\mathrm {Y} _{a,b}-\mathrm {Y} _{a,b+1}.$

C’est de cette manière que le Problème dont il s’agit est résolu dans l’Ouvrage cité de Moivre, page 15 ; mais cette que nous venons d’en donner est non-seulement plus simple, mais elle a de plus l’avantage d’être déduite de principes directs.

Problème II.

51. On suppose qu’à chaque eoup il puisse deux événements dont les probabilités respectives soient $p$ et $q\,;$ et l’on demande le sort d’un joueur qui parierait d’amener le premier de ces événements $b$ fois au moins et le second $c$ fois au moins, en un nombre $a$ de coups.

Soit, en général, $y_{x,t,u}$ le sort du joueur lorsqu’il a encore $x$ coups à jouer, et qu’il doit encore amener les deux événements, l’un $t$ fois et l’autre $u$ fois ; il est clair que le sort cherché sera $y_{a,b,c}.$

Maintenant si l’on suppose que l’on joue un coup, et qu’on considère les différents cas qui peuvent arriver, on formera aisément, d’après les