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Problème IV.

54. On suppose qu’à chaque coup il puisse arriver trois événements différents, que je désignerai pour plus de clarté par $\mathrm {P,Q,R} ,$ et que les probabilités de ces événements soient respectivement égales à $p,q,r\,;$ on demande le sort d’un joueur qui parierait d’amener l’événement $\mathrm {R}$ $c$ fois avant que l’événement $\mathrm {Q}$ arrive $b$ fois, et que l’événement $\mathrm {P}$ arrive $a$ fois.

Soit $y_{x,t,u}$ le sort du joueur lorsqu’il a encore à amener l’événement $\mathrm {R}$ $u$ fois avant que l’événement $\mathrm {Q}$ arrive $t$ fois et que l’événement $\mathrm {P}$ arrive $x$ fois ; on aura $y_{a,b,c}$ pour le sort cherché. Or, en supposant qu’on joue un coup, on parviendra à l’équation

$y_{x,t,u}=py_{x-1,t,u}+qy_{x,t-1,u}+ry_{x,t,u-1}\,;$

et comme le joueur est censé avoir gagné lorsque $u=0$ et $x,t$ plus grands que zéro ; qu’au contraire il est censé avoir perdu lorsque $t=0,$ et $x,u$ plus grands que zéro, et lorsque $x=0$ et $t,u$ plus grands que zéro, il s’ensuit qu’on aura

$y_{x,t,0}=1,\quad y_{x,0,u}=0,\quad y_{0,t,u}=0,$

$x,t,u$ étant des nombres quelconques entiers positifs.

L’équation différentielle ci-dessus étant mise sous la forme

$py_{x,t+1,u}+qy_{x+1,t,u+1}+ry_{x+1,t+1,u}-y_{x+1,t+1,u+1}=0,$

se trouve comprise dans la formule (L) du n^o 42, et l’on aura

$\gamma =-{\frac {r\alpha \beta }{q\alpha +p\beta -\alpha \beta }}={\frac {r}{1-{\cfrac {p}{\alpha }}-{\cfrac {q}{\beta }}}}\,;$

d’où

$\gamma ^{u}=r^{u}{\Biggl [}1+u\left({\frac {p}{\alpha }}+{\frac {q}{\beta }}\right)+{\frac {u(u+1)}{2}}\left({\frac {p^{2}}{\alpha ^{2}}}+{\frac {2pq}{\alpha \beta }}+{\frac {q^{2}}{\beta ^{2}}}\right){\Biggr .}$

${\Biggl .}+{\frac {u(u+1)(u+2)}{2.3}}\left({\frac {p^{3}}{\alpha ^{3}}}+{\frac {3p^{2}q}{\alpha ^{2}\beta }}+{\frac {3pq^{2}}{\alpha \beta ^{2}}}+{\frac {q^{3}}{\beta ^{3}}}\right)+\ldots {\Biggr ]}.$