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lorsque $\alpha =1\,;$ donc

$y_{x,t}=1-\,_{\prime }\!\mathrm {T} u_{x}-\,_{\prime }\!\mathrm {T} 'u_{x+1}-\,_{\prime }\!\mathrm {T} ''u_{x+2}-\ldots -\,_{\prime }\!\mathrm {T} ^{(t-1)}u_{x+t-1}.$

Ensuite il faut aussi, par les conditions du Problème, que $y_{x,b+c}=1,$ $x$ étant positif quelconque ou zéro ; donc si l’on dénote par $\mathrm {B,B',B''} ,\ldots$ les valeurs de $\,_{\prime }\!\mathrm {T} ,\,_{\prime }\!\mathrm {T} ',\,_{\prime }\!\mathrm {T} '',\ldots$ lorsque $t=b+c,$ on aura pour la détermination des quantités $u_{x}$ l’équation

$\mathrm {B} u_{x}+\mathrm {B} 'u_{x+1}+\mathrm {B} ''u_{x+2}+\ldots +\mathrm {B} ^{(t-1)}u_{x+b+c-1}=0,$

d’où l’on voit que ces quantités forment une suite récurrente simple de l’ordre $b+c-1\,;$ en sorte que si l’on fait l’équation

$(a)\quad \qquad \mathrm {B+B'\alpha +B''\alpha ^{2}+B'''} \alpha ^{3}+\ldots +B^{(t-1)}u_{x+b+c-1}=0,$

et qu’on dénote par $\alpha ',\alpha '',\alpha ''',\ldots$ les différentes racines de cette équation, on aura, en général (Article I),

$u_{x}=\mathrm {M} \alpha ^{'x}+\mathrm {N} \alpha ^{''x}+\mathrm {P} \alpha ^{'''x}+\ldots ,$

$\mathrm {M,N,P} ,\ldots$ étant des constantes indéterminées.

On fera donc cette substitution dans l’expression ci-dessus de $y_{x,t},$ et comme l’on a, en général,

$\,_{\prime }\!\mathrm {A} =\,_{\prime }\!\mathrm {T} +\,_{\prime }\!\mathrm {T} '\alpha +\,_{\prime }\!\mathrm {T} ''\alpha ^{2}+\ldots$

si l’on dénote par $\,_{\prime }\!A',\,_{\prime }\!A'',\,_{\prime }\!A''',\ldots$ les valeurs de $\,_{\prime }\!A$ qui répondent à $\alpha =\alpha ',\alpha '',\alpha ''',\ldots ,$ on aura

$(b)\qquad \qquad y_{x,t}=1-\mathrm {M\,_{\prime }\!A'} \alpha ^{'x}-\mathrm {N\,_{\prime }\!A''} \alpha ^{''x}-\mathrm {P\,_{\prime }\!A'''} \alpha ^{'''x}-\ldots ,$

et il ne restera plus qu’à déterminer les $b+c-1\,;$ constantes au moyen de la dernière condition du Problème qui est $y_{0,t}=0,$ $t$ étant $1,2,3,\ldots ,$$b+c-1\,;$ de sorte qu’il faudra que ces constantes soient telles, que l’on ait ($x$ étant $=0$)

$(c)\qquad \qquad \qquad \mathrm {M\,_{\prime }\!A'} +\mathrm {N\,_{\prime }\!A''} +\mathrm {P\,_{\prime }\!A'''} +\ldots =1,$