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or, comme les quantités $p$ et $1-a$ sont très-petites (hypothèse), il est clair que les quantités $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q}$ le seront aussi ; d’où il s’ensuit que la série précédente sera nécessairement convergente.

29. Soit encore l’équation

$\operatorname {tang} x={\frac {a\sin 2y+b\sin y}{\cos 2y+p\cos y+q}},$

$a$ étant peu différent de l’unité, et $b,p,q$ des coefficients fort petits ; on aura d’abord

${\frac {1+\operatorname {tang} x{\sqrt {-1}}}{1-\operatorname {tang} x{\sqrt {-1}}}}={\frac {\cos 2y+p\cos y+q+(a\sin 2y+b\sin y){\sqrt {-1}}}{\cos 2y+p\cos y+q-(a\sin 2y+b\sin y){\sqrt {-1}}}},$

ce qui se réduit à

$e^{2x{\sqrt {-1}}}=$

${\frac {(1+a)e^{2y{\sqrt {-1}}}+(1-a)e^{-2y{\sqrt {-1}}}+(p+b)e^{y{\sqrt {-1}}}+(p-b)e^{-y{\sqrt {-1}}}+2q}{(1+a)e^{-2y{\sqrt {-1}}}+(1-a)e^{2y{\sqrt {-1}}}+(p+b)e^{-y{\sqrt {-1}}}+(p-b)e^{y{\sqrt {-1}}}+2q}},$

ou bien à

$e^{2x{\sqrt {-1}}}=e^{4y{\sqrt {-1}}}=$

${\frac {1+{\cfrac {p+b}{1+a}}e^{-y{\sqrt {-1}}}+{\cfrac {2q}{1+a}}e^{-2y{\sqrt {-1}}}+{\cfrac {p-b}{1+a}}e^{-3y{\sqrt {-1}}}+{\cfrac {1-a}{1+a}}e^{-4y{\sqrt {-1}}}}{1+{\cfrac {p+b}{1+a}}e^{y{\sqrt {-1}}}+{\cfrac {2q}{1+a}}e^{2y{\sqrt {-1}}}+{\cfrac {p-b}{1+a}}e^{3y{\sqrt {-1}}}+{\cfrac {1-a}{1+a}}e^{4y{\sqrt {-1}}}}}.$

Soient maintenant

$1+\mathrm {P} z,\quad 1+\mathrm {Q} z,\quad 1+\mathrm {R} z,\quad 1+\mathrm {S} z$

les facteurs simples du quadrinôme

$1+{\frac {p+b}{1+a}}z+{\frac {2q}{1+a}}z^{2}+{\frac {p-b}{1+a}}z^{3}+{\frac {1-a}{1+a}}z^{4}\,;$

l’équation précédente deviendra

$e^{2x{\sqrt {-1}}}=$

$e^{4y{\sqrt {-1}}}{\frac {\left(1+\mathrm {P} e^{-y{\sqrt {-1}}}\right)\left(1+\mathrm {Q} e^{-y{\sqrt {-1}}}\right)\left(1+\mathrm {R} e^{-y{\sqrt {-1}}}\right)\left(1+\mathrm {S} e^{-y{\sqrt {-1}}}\right)}{\left(1+\mathrm {P} e^{y{\sqrt {-1}}}\right)\left(1+\mathrm {Q} e^{y{\sqrt {-1}}}\right)\left(1+\mathrm {R} e^{y{\sqrt {-1}}}\right)\left(1+\mathrm {S} e^{y{\sqrt {-1}}}\right)}},$