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on aura l’équation

$\mathrm {A} a^{m}x^{m\alpha +n}+\mathrm {A} 'a^{m'}x^{m'\alpha +n'}+\mathrm {A} ''a^{m''}x^{m''\alpha +n''}+\mathrm {A} '''a^{m'''}x^{m'''\alpha +n'''}+\ldots =0,$

dans laquelle il s’agira de déterminer le nombre $\alpha ,$ en sorte que les exposants de deux ou de plusieurs termes deviennent égaux et en même temps plus petits que ceux des autres termes.

Ce Problème se réduit donc, comme on voit, à celui-ci :

4. Étant donnée une série telle que

$m\alpha +n,\quad m'\alpha +n',\quad m''\alpha +n'',\quad m'''\alpha +n''',\quad m^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\alpha +n^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},\ldots ,$

dans laquelle $m,m',m'',m''',\ldots$ soient des nombres connus qui forment une progression croissante quelconque, $n,n',n'',n''',\ldots$ des nombres aussi connus quelconques, et un nombre inconnu ; déterminer le nombre $\alpha$ en sorte que deux ou plusieurs termes de cette série deviennent égaux, et soient en même temps moindres qu’aucun des autres termes.

Il est clair qu’on pourrait résoudre cette question en égalant successivement deux à deux tous les termes de la série proposée, et substituant ensuite dans tous les autres termes les valeurs de $\alpha$ tirées de chacune de ces égalités ; on trouverait sûrement de cette manière toutes les valeurs convenables de $\alpha ,$ en rejetant celles qui n’auraient pas la condition requise mais ce calcul demanderait plusieurs opérations inutiles c’est pourquoi il est bon de chercher des moyens de l’abréger.

Je commence par comparer le premier terme $m\alpha +n$ à chacun des suivants $m'\alpha +n',\ m''\alpha +n'',\ldots ,$ et j’en tire ces valeurs de $\alpha$

${\frac {n'-n}{m-m'}},\quad {\frac {n''-n}{m-m''}},\quad {\frac {n'''-n}{m-m'''}},\ldots$

que je dénote pour plus de simplicité par $\alpha ',\alpha '',\alpha ''',\ldots \,;$ nommant ensuite $\varepsilon$