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Or, si $\mu$ est un nombre fort grand, alors il est visible que le premier terme se réduit toujours à $-{\frac {x^{n}}{4}},$ et que les autres termes se réduisent à ceux-ci $y^{(\mu )}+\left[y^{(\mu )}\right]^{2}\,;$ de sorte qu’on a, dans ce cas, la transformée

$-{\frac {x^{n}}{4}}+y^{(\mu )}+\left[y^{(\mu )}\right]^{2}=0,$

d’où l’on tire, en général,

$y^{(\mu )}={\frac {-1\pm {\sqrt {1+x^{n}}}}{2}},$

mais les valeurs de $y$ devant être nulles lorsque $x=0,$ on aura

$y^{(\mu )}={\frac {-1+{\sqrt {1+x^{n}}}}{2}}.$

Donc, lorsqu’on aura poussé assez loin la fraction continue du n^o 14, il faudra, si l’on veut s’arrêter, ajouter après l’unité dans le dénominateur de la dernière fraction la quantité que nous venons de trouver, ou bien on donnera à la dernière fraction pour dénominateur la quantité ${\frac {1+{\sqrt {1+x^{n}}}}{2}}.$

On pourra en user de même dans tous les cas semblables.

17. Soit encore proposée cette équation différentielle

$1+2mxy-y^{2}+nx^{2}{\frac {dy}{dx}}=0,$

dans laquelle on demande la valeur de $y$ en $x$ par une fraction continue d’autant plus convergente que $x$ sera plus petite.

1^o On trouvera $\xi =1,$ et la transformée en $y'$ sera

$-2mx-(2+2mx)y'-y'^{2}+nx^{2}{\frac {dy'}{dx}}=0\,;$

2^o On aura $\xi '=-mx,$ et de là

$(m-n)x-\left[2+(n-2m)x\right]y''-2y''^{2}+nx^{2}{\frac {dy''}{dx}}=0\,;$