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$y$ étant $=x^{2},$ il est visible que le coefficient $\mathrm {P}$ sera égal à la somme des carrés $x'^{2},x''^{2},x'''^{2},\ldots ,$ que le coefficient $\mathrm {Q}$ sera égal à la somme des produits deux à deux de ces carrés, c’est-à-dire à la somme des carrés des produits $x'x'',x'x''',x''x''',\ldots ,$ et ainsi de suite ; de sorte que, comme le carré de toute quantité réelle est toujours positif, il faudra nécessairement, pour que les racines $x',x'',x''',\ldots$ soient toutes réelles, que les quantités $\mathrm {P,Q,R} ,\ldots$ soient toutes positives.

Or puisque $x^{2}=y,$ il n’y aura qu’à éliminer, par ce moyen, $x$ de l’équation proposée pour avoir la transformée en $y,$ et, pour cet effet, il n’y aura qu’à substituer ${\sqrt {y}}$ à la place de $x,$ ce qui donnera

$y^{\frac {m}{2}}-\mathrm {A} y^{\frac {m-1}{2}}+\mathrm {B} y^{{\frac {m}{2}}-1}-\mathrm {C} y^{{\frac {m-1}{2}}-1}+\mathrm {D} y^{{\frac {m}{2}}-2}-\mathrm {E} y^{{\frac {m-1}{2}}-2}+\ldots =0\,;$

or, comme ${\frac {m}{2}}$ ou ${\frac {m-1}{2}}$ est nécessairement une fraction, pour la faire évanouir on transportera de l’autre côté tous les termes qui renferment ${\frac {m-1}{2}}$ dans les exposants, on élèvera ensuite les deux membres au carré, après quoi on ordonnera l’équation par rapport aux puissances de $y,$ et l’on trouvera par la comparaison des termes

${\begin{aligned}\mathrm {P} =&\mathrm {A^{2}-2B} ,\\\mathrm {Q} =&\mathrm {B^{2}-2AC+2D} ,\\\mathrm {R} =&\mathrm {C^{2}-2BD+2AE-2F} ,\\\mathrm {S} =&\mathrm {D^{2}-2CE+2BF-2AG+2H} ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Donc on aura nécessairement, lorsque toutes les racines $x',x'',x''',\ldots$ sont réelles,

${\begin{aligned}&\mathrm {A^{2}-2B} >0,\\&\mathrm {B^{2}-2AC+2D} >0,\\&\mathrm {C^{2}-2BD+2AE-2F} >0,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Si quelqu’une de ces conditions n’a pas lieu, on en pourra conclure