on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\rho '\ \ =&{\frac {(\theta '+\theta '')\theta '\mu '}{2\gamma }}\mathrm {R} ''\left({\frac {\mathrm {F} }{r''^{3}}}-m^{2}\right),\\\rho ''\ =&-{\frac {\theta '\theta ''\mu ''}{2\gamma \left(1+{\frac {\mathrm {F} \theta '\theta ''}{2r''^{3}}}\right)}}\mathrm {R} ''\left({\frac {\mathrm {F} }{r''^{3}}}-m^{2}\right),\\\rho '''=&{\frac {(\theta '+\theta '')\theta ''\mu '''}{2\gamma }}\mathrm {R} ''\left({\frac {\mathrm {F} }{r''^{3}}}-m^{2}\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e52eafe6048bd2e6c808a2f1e984fe64e8371687)
Il est visible que ces expressions ne sauraient être réduites davantage, si ce n’est en négligeant dans le dénominateur de
le terme du second ordre
vis-à-vis de
ce qui donnera
![{\displaystyle \rho ''={\frac {\theta '\theta ''\mu ''}{2\gamma }}\mathrm {R} ''\left(m^{2}-{\frac {\mathrm {F} }{r''^{3}}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf88427e96afb5327401c93de4623a94ed1e8fbf)
Or la quantité
est donnée en
par la formule
![{\displaystyle r''^{2}=\mathrm {R} ''^{2}+2\rho ''\mathrm {R} ''\cos(\alpha ''-\mathrm {A} '')\cos \beta ''+\rho ''^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04ccf51fd323f3d3686b51e97daad73096a20b4b)
Donc, si l’on fait cette substitution dans la dernière équation, on aura une équation où il n’y aura d’inconnue que
et qui servira à la déterminer.
13. Soit, pour abréger,
![{\displaystyle \lambda ={\frac {\theta '\theta ''\mu ''\mathrm {R} ''}{2\gamma }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb356e951064ee6fe5cf8e77e03ebd2f7feff433)
on aura
![{\displaystyle \rho ''=\left(m^{2}-{\frac {\mathrm {F} }{r''^{3}}}\right)\lambda \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ead11b66d0865393682e83e3c6814dd5ceadc47)
donc
![{\displaystyle \lambda \mathrm {F} =\left(\lambda m^{2}-\rho ''\right)r''^{3}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f86e08706ae10be0f560b381f0487b023a43e5f)
prenant les carrés et substituant la valeur de
en
on aura l’équation
![{\displaystyle \left(\rho ''-\lambda m^{2}\right)^{2}\left[\mathrm {R} ''^{2}+2\rho ''\mathrm {R} ''\cos(\alpha ''-\mathrm {A} '')\cos \beta ''+\rho ''^{2}\right]^{3}-\lambda ^{2}\mathrm {F} ^{2}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef91a3484b6f3bb687313983c9da6212719cbb49)
laquelle étant développée et ordonnée par rapport à
montera au huitième degré.