Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 4.djvu/473

Soleil, on aura alors

$a=1\quad g=1\,;$

donc

$\mathrm {F} =1,\quad m={\frac {b}{\mathrm {R} ''^{2}}}\,;$

or l’excentricité de l’orbite du Soleil étant

$0{,}0168<{\frac {1}{50}},$

on aura

$b>{\sqrt {1-{\frac {1}{2500}}}}\,;$

donc en prenant $b=1,$ on ne commettra qu’une erreur presque insensible.

Nous ferons donc $\mathrm {F} =1$ et $m={\frac {1}{\mathrm {R} ''^{2}}},$ moyennant quoi le dernier terme de l’équation en $\rho '',$ lequel est $\lambda ^{2}\left(m^{4}\mathrm {R} ''^{6}-\mathrm {F} ^{2}\right),$ deviendra $\lambda ^{2}\left({\frac {1}{\mathrm {R} ''^{2}}}-1\right),$ et sera par conséquent nul lorsque $\mathrm {R} ''=1,$ c’est-à-dire lorsque la seconde observation aura été faite dans les moyennes distances de la Terre ; mais comme l’orbite de la Terre est presque circulaire, $\mathrm {R} ''$ sera toujours à trèspeu près égal à $1\,;$ par conséquent si le dernier terme de l’équation en $\rho ''$ n’est pas exactement nul, il sera du moins toujours extrêmement petit, et pourra être pris pour nul, d’autant plus qu’il ne s’agit ici que d’une détermination approchée.

L’équation en $\rho ''$ s’abaissera donc par là au septième degré, et aura nécessairement une racine réelle ; et il est facile de se convaincre que cette équation ne pourra s’abaisser davantage ; car son dernier terme sera

$-2\lambda m^{2}\mathrm {R} ''^{6}+6\lambda ^{2}m^{4}\mathrm {R} ''^{5}\cos(\alpha ''-\mathrm {A} '')\cos \beta ''=$

${\frac {2\lambda }{\mathrm {R} ''^{3}}}\left[-\mathrm {R} ''^{5}+3\lambda \cos(\alpha ''-\mathrm {A} '')\cos \beta ''\right],$

quantité qui ne peut être nulle, en général,.

Voilà donc la limite fixée par la nature même du Problème, et au-dessous de laquelle il est impossible de le rabaisser, quelque petits qu’on suppose les intervalles entre les trois observations ; car il est facile de se convaincre que la quantité $\lambda$ demeure toujours finie, même en suppo-