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on aura

${\sqrt {r'r''}}\cos \omega ={\frac {2s\tau }{1-\tau }}\,;$

et, substituant cette valeur dans la dernière équation du numéro précédent, elle deviendra

${\frac {3\theta '}{\sqrt {2}}}=(2s)^{\frac {3}{2}}{\frac {\sqrt {1-3\tau }}{(1-\tau )^{\frac {3}{2}}}}.$

Cette équation, en faisant

$\tau =1-{\frac {2}{3}}\upsilon ,$

se change en celle-ci

$\upsilon =1+{\frac {\theta '^{2}}{12s^{3}}}\upsilon ^{3},$

d’où l’on tirera la valeur de $\upsilon ,$ laquelle ne dépendra, comme l’on voit, que de celle de ${\frac {\theta '^{2}}{s^{3}}}.$

D’où l’on conclura d’abord que, lorsque $\theta '^{2}$ est proportionnel à $s^{3},$ la quantité $\upsilon$ sera constante, ainsi que la quantité $\tau ,$ et que par conséquent $\mathrm {L}$ sera simplement proportionnelle à $\theta '\,;$ d’où résulte le Théorème suivant :

Le secteur triangulaire décrit par la Comète, dans un temps quelconque, est toujours exactement proportionnel à ce temps, lorsque le cube de la somme des deux rayons vecteurs qui comprennent ce secteur est proportionnel au carré du temps.

18. L’équation

$\upsilon =1+{\frac {\theta '^{2}}{12s^{3}}}\upsilon ^{3}$

peut se résoudre par approximation, au moyen des formules que j’ai données dans les Mémoires de 1768 ; et l’on peut avoir, par ces formules, non-seulement la valeur de $\upsilon ,$ mais encore celle d’une puissance quelconque $\upsilon ^{m}.$ Car en faisant, pour abréger,

${\frac {\theta '^{2}}{12s^{3}}}=q,$