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précédente, on aura

$\alpha \alpha '+\beta \beta '+\gamma \gamma '=\cos \omega .$

Et l’on prouvera de même qu’en nommant $\omega '$ l’angle compris par les droites $\rho ',\rho '',$ et $\omega ''$ l’angle compris par les droites $\rho$ et $\rho '',$ on aura

${\begin{aligned}\alpha '\alpha ''+\beta '\beta ''+\gamma '\gamma ''=&\cos \omega ',\\\alpha \ \alpha ''+\beta \ \beta ''+\gamma \ \gamma ''=&\cos \omega ''.\end{aligned}}$

Donc la valeur de $\delta ^{2}$ deviendra par ces substitutions

$\delta ^{2}=1+2\cos \omega \cos \omega '\cos \omega ''-\cos ^{2}\omega -\cos ^{2}\omega '-\cos ^{2}\omega ''.$

Cette expression peut se mettre encore sous une autre forme plus commode pour le calcul car il est facile de se convaincre, par le développement des termes, qu’elle est la même chose que celle-ci

$-\left[\cos(\omega +\omega ')-\cos \omega ''\right]\left[\cos(\omega -\omega ')-\cos \omega ''\right]\,;$

en sorte qu’on aura par les transformations connues

$\delta ^{2}=-4\sin {\frac {\omega +\omega '+\omega ''}{2}}\sin {\frac {\omega +\omega '-\omega ''}{2}}\sin {\frac {\omega -\omega '+\omega ''}{2}}\sin {\frac {\omega -\omega '-\omega ''}{2}},$

formule très-commode pour le calcul logarithmique.

16. Or il est visible que les angles, $\omega ,\omega ',\omega ''$ ne sont autre chose que les trois côtés du triangle sphérique formé par les trois cercles de la sphère, lesquels joignent les trois lieux apparents de la Comète dans les trois observations. Si donc orrconsidère ce triangle sphérique et qu’on nomme $\Omega ,\Omega ',\Omega '',$ les angles opposés aux côtés, $\omega ,\omega ',\omega '',$ on aura par le Théorème connu

$\cos \omega ''=\cos \omega \cos \omega '+\sin \omega \sin \omega '\cos \Omega ''\,;$

cette valeur étant substituée dans la première expression de $\delta ^{2},$ on aura après les réductions

$\delta ^{2}=\sin ^{2}\omega \sin ^{2}\omega '\sin ^{2}\Omega '',$