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D’où l’on voit que les inconnues $x,x',x'',\ldots$ forment une série récurrente du second ordre ; de sorte que la question est réduite à trouver le terme général d’une série de ce genre.

6. Si les coefficients $m',m'',m''',\ldots$ étaient tous égaux, on aurait tout d’un coup le terme général dont il s’agit par les méthodes connues ; mais lorsque ces coefficients sont inégaux, je ne connais point d’autre moyen, pour avoir les valeurs des différents termes de la série récurrente, que de les déterminer successivement l’un après l’autre.

Pour cela on remarquera que, quelque nombre d’équations qu’on prenne à résoudre, il y aura toujours deux inconnues de plus qu’il n’y a d’équations ; ainsi les deux premiers termes $x$ et $x'$ doivent demeurer indéterminés, et comme les équations (E) sont linéaires et ne contiennent aucun terme sans $x,$ il est facile de prévoir que l’expression d’une inconnue quelconque sera composée de deux parties, l’une toute multipliée par $x,$ et l’autre toute multipliée par $x',$ en sorte qu’on pourra chercher séparément chacune de ces parties en faisant, dans les équations (E), $x=0$ ou $x'=0.$

1^o On aura donc

${\begin{aligned}x\ \ \,&=0,\\x'\ \,&=x',\\x''\ &=m'x',\\x'''&=\left(-1+m'm''\right)x',\\x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}&=\left(-m'-m'''+m'm''m'''\right)x',\\x^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}&=\left(1-m'm''-m'm^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-m'''m^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+m'm''m'''m^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)x',\\x^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}}&=\left(m'+m'''+m^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}-m'm''m'''-m'm''m^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}-m'm^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}m^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left.-m'''m^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}m^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}+m'm''m'''m^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}m^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\right)x',\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$