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et qu’on remette $1-e^{2}$ à la place de ${\frac {p}{a}},$ on aura cette formule différentielle

${\frac {a^{\frac {3}{2}}zdz}{\sqrt {e^{2}-1+2z-z^{2}}}},$

dont l’intégrale prise, par exemple, depuis $z=m$ jusqu’à $z=n,$ donnera le temps employé à parcourir l’angle compris entre les rayons vecteurs $ma$ et $na.$

5. Soit

$z=1-u,$

la formule précédente deviendra

${\frac {a^{\frac {3}{2}}(udu-du)}{\sqrt {e^{2}-u^{2}}}},$

dont l’intégrale est évidemment

$a^{\frac {3}{2}}\left(\operatorname {arc} \cos {\frac {u}{e}}-{\sqrt {e^{2}-u^{2}}}\right)\,;$

et la question se réduira à faire en sorte que la différence de deux intégrales de cette espèce pour deux différentes valeurs de $u$ soit égale à la différence de deux autres intégrales semblables, mais dans lesquelles la constante $e$ soit $=1.$ Ainsi il faudra satisfaire à l’équation

${\begin{aligned}&\operatorname {arc} \cos {\frac {u}{e}}-{\sqrt {e^{2}-u^{2}}}-\operatorname {arc} \cos {\frac {s}{e}}+{\sqrt {e^{2}-s^{2}}}\\&\quad =\operatorname {arc} \cos x-{\sqrt {1-x^{2}}}-\operatorname {arc} \cos y+{\sqrt {1-y^{2}}},\end{aligned}}$

laquelle, en comparant la partie algébrique avec la partie algébrique et la transcendante avec la transcendante, se partage en ces deux-ci

${\begin{aligned}&{\sqrt {e^{2}-u^{2}}}-{\sqrt {e^{2}-s^{2}}}={\sqrt {1-x^{2}}}-{\sqrt {1-y^{2}}},\\&\operatorname {arc} \cos {\frac {u}{e}}-\operatorname {arc} \cos {\frac {s}{e}}=\operatorname {arc} \cos x-\operatorname {arc} \cos y,\end{aligned}}$