Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 4.djvu/596

En sorte qu’on aura les mêmes quatre équations du n^o 5, et par conséquent aussi les mêmes résultats.

10. Quoique la méthode que nous venons d’exposer ne laisse rien à désirer relativement à la solution du Problème proposé, il faut avouer néanmoins que cette méthode, considérée analytiquement et indépendamment de toute considération géométrique, n’est pas aussi directe qu’on pourrait le désirer ; car elle demande qu’on commence par différentier l’équation qu’il s’agit d’intégrer, ce qui est peu naturel et peu conforme à la marche ordinaire du Calcul intégral. En effet, supposons qu’il soit proposé d’intégrer l’équation du second ordre

$y+{\frac {1+\left({\cfrac {dy}{dx}}\right)^{2}}{\cfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}}=\varphi \left[x-{\frac {1+\left({\cfrac {dy}{dx}}\right)^{2}}{\cfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}}{\frac {dy}{dx}}\right],$

qui n’est autre chose, comme on voit, que l’équation de la développée

$q=\varphi (p),$

sans qu’on sache comment on est parvenu à cette équation, il ne serait pas facile de prévoir que l’intégration d’une telle équation peut être facilitée beaucoup par une différentiation préliminaire. Voyons donc comment on pourrait parvenir au but en ne faisant usage que des artifices ordinaires du Calcul intégral. Un des artifices les plus ordinaires de ce Calcul est celui des substitutions, et il est clair que la substitution qui paraît la plus naturelle dans l’équation proposée est celle de supposer la quantité affectée du signe $\varphi ,$ lequel dénote une fonction arbitraire égale à une nouvelle variable $p,$ ce qui donnera ces deux équations

$x-{\frac {1+\left({\cfrac {dy}{dx}}\right)^{2}}{\cfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}}{\frac {dy}{dx}}=p,\quad y+{\frac {1+\left({\cfrac {dy}{dx}}\right)^{2}}{\cfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}}=\varphi (p),$

au moyen desquelles on pourra éliminer par exemple la variable $y,$ et