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aient lieu en même temps relativement à ces deux courbes, et l’on tirera de ces équations les valeurs de $p,q,r,$ lesquelles seront exprimées en $x,y,{\frac {dy}{dx}}$ et ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,;$ et ainsi de suite.

Nous nommerons, en général, courbe touchante la courbe proposée par rapport à laquelle les quantités $p,q,r,\ldots$ sont constantes ; et nous nommerons ensuite courbe touchée l’autre courbe par rapport à laquelle ces mêmes quantités sont variables, étant des fonctions de ses coordonnées $x,y$ et de leurs différentielles ${\frac {dy}{dx}},{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},\ldots .$

Enfin nous nommerons ces mêmes quantités $p,q,r,\ldots$ éléments du contact ; de sorte qu’un contact du premier ordre n’aura que deux éléments, un contact du second ordre n’en aura que trois, etc.

3. Supposons que la courbe touchante soit un cercle quelconque, dont l’équation soit

$(x-p)^{2}+(y-q)^{2}=r^{2},$

$p$ et $q$ étant les coordonnées qui déterminent le lieu du centre et $r$ le rayon. Si l’on veut que ce cercle ait un contact du second ordre avec une courbe quelconque, c’est-à-dire qu’il en devienne le cercle osculateur, il faudra déterminer les trois éléments $p,q,r$ du contact au moyen des trois équations

$\mathrm {V} =0,\quad d\mathrm {V} =0,\quad d^{2}\mathrm {V} =0.$

en faisant

$\mathrm {V} =(x-p)^{2}+(y-q)^{2}-r^{2}\,;$

et l’on retrouvera les mêmes expressions de ces quantités que l’on a déjà trouvées dans l’Article I^er (1).

Si l’on fait tomber le centre du cercle dans l’axe des abscisses, on aura $q=0,$ et l’équation

$(x-p)^{2}+y^{2}=r^{2}$

ne renfermera plus que deux constantes $p$ et $r.$ Ce cercle ne pourra donc