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5. Nous commencerons par rappeler ici les principes de la Théorie des intégrales particulières que nous avons exposée en détail dans notre Mémoire sur cette matière [Nouveaux Mémoires de l’Académie royale des Sciences de Berlin pour 1774^[1]] ; et nous les présenterons même d’une manière plus simple et plus générale à quelques égards que nous ne l’avons fait dans ce Mémoire.

Soit

$\mathrm {Z} =0$

une équation différentielle d’un ordre quelconque $n$ entre deux ou plusieurs variables ; et soit

$\mathrm {V} =0$

une équation différentielle d’un ordre inférieur $m$ entre les même variables, laquelle soit une intégrale complète de l’équation $\mathrm {Z} =0.$ Par la Théorie connue du Calcul intégrale on sait que l’équation $\mathrm {V} =0$ doit renfermer autant de constantes arbitraires qu’il y a d’unités dans la différence $n-m$ des exposants des ordres des deux équations, en sorte que si $m=0,$ de manière que l’intégrale complète $\mathrm {V} =0$ soit finie, le nombre des constantes arbitraires doit égaler le nombre $n$ de l’ordre de l’équation différentielle $\mathrm {Z} =0.$ On sait de plus que l’équation différentielle $\mathrm {Z} =0$ ne peut être autre chose que le résultat de l’élimination de toutes ces constantes arbitraires au moyen de l’équation $\mathrm {V} =0$ et de ses différences $d\mathrm {V} =0,d^{2}\mathrm {V} =0,\ldots$ jusqu’à $d^{n-m}\mathrm {V} =0$ inclusivement : en effet, ces équations étant au nombre de $n-m+1,$ et les constantes arbitraires n’étant qu’au nombre de $n-m,$ on aura par l’élimination de ces constantes une équation finale de l’ordre de $n-m,$ laquelle devra être identique, ou du moins équivalente à l’équation $\mathrm {Z} =0.$

Or, comme l’élimination dont il s’agit est indépendante de la valear particulière des constantes arbitraires, il est clair qu’on aura toujours le même résultat, soit que ces quantités arbitraires soient constantes ou non, pourvu que l’on ait les mêmes équations

$\mathrm {V} =0,\quad d\mathrm {V} =0,\quad d^{2}\mathrm {V} =0,\ldots ,\quad d^{n-m}\mathrm {V} =0.$

1. Œuvres de Lagrange, t. IV, p. 5.