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Article V. — Sur l’intégration des équations aux différences
partielles du premier ordre.

1. Je me propose ici de généraliser la méthode que j’ai donnée dans le n^o 52 du Mémoire Sur les intégrales particulières des équations différentielles [Mémoires de 1774, page 253^[1]] pour intégrer les équations aux différences partielles du premier ordre dans lesquelles ces différences ne paraissent que sous la forme linéaire.

Soit l’équation

${\frac {dz}{dx}}+\mathrm {P} {\frac {dz}{dy}}+\mathrm {Q} {\frac {dz}{dt}}+\ldots =\mathrm {Z} .$

dans laquelle $\mathrm {P,Q,\ldots ,Z}$ soient des fonctions quelconques données des variables $x,y,t,\ldots ,z,$ et où $z$ soit une fonction inconnue de $x,y,t,\ldots .$

Pour intégrer cette équation, c’est-à-dire pour trouver une équation finie entre $x,y,z,t,\ldots$ je forme ces équations particulières

${\begin{aligned}dy-\mathrm {P} \,dx&=0,\\dt-\mathrm {Q} dx&=0,\\\ldots \ldots \ldots &\ldots ,\\dz-\mathrm {Z} dx&=0,\end{aligned}}$

dont le nombre sera, comme on voit, égal à celui de toutes les variables moins une.

Ces équations sont des équations ordinaires du premier ordre entre les variables $x,y,t,\ldots ,z,$ et peuvent par conséquent s’intégrer par les méthodes connues. Qu’on les intègre donc, en ajoutant dans chaque intégration une constante arbitraire ; on aura, en nommant $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ ces constantes, autant d’équations finies entre $x,y,t,\ldots ,z$ et $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ qu’il y aura de ces constantes arbitraires $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots \,;$ en sorte qu’on pourra déterminer la valeur de chacune de ces constantes en fonction connue de $x,$

1. Œuvres de Lagrange, t. IV, p. 82.