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et, pour cet effet, j’en tire d’abord celles-ci

${\begin{aligned}dy-dx=&{\frac {x-y}{y+t+z}}dx,\\dt\,-dx=&{\frac {x-t}{y+t+z}}dx,\\dz-dx=&{\frac {x-z}{y+t+z}}dx,\\dx+dy\,+&dt+dz={\frac {3(x+y+t+z)dx}{y+t+z}}\,;\end{aligned}}$

d’où, éliminant ${\frac {dx}{y+t+z}},$ j’ai trois équations intégrables, et dont les intégrales seront

${\begin{aligned}(y-x)^{3}(x+y+t+z)=&\alpha ,\\(t\,-x)^{3}(x+y+t+z)=&\beta ,\\(z-x)^{3}(x+y+t+z)=&\gamma \,;\end{aligned}}$

de là on aura pour l’intégrale de la proposée

$\alpha =\varphi (\beta ,\gamma ).$

5. Pour montrer maintenant l’usage de cette méthode dans la solution d’un Problème géométrique, je suppose qu’on demande l’équation générale de toutes les surfaces qui peuvent couper à angles droits une infinité de surfaces données, lesquelles ne diffèrent entre elles que par un paramètre constant dans la même surface, mais variable d’une surface à l’autre. Ce Problème est par rapport aux surfaces ce que le Problème connu des trajectoires rectangles est pour les lignes mais il est beaucoup plus difficile que ce dernier, à cause qu’il conduit à une équation aux différences partielles.

En effet soient $x,y,z$ les coordonnées rectangles de chacune des surfaces à couper ; on aura, par la nature de ces surfaces, une équation finie entre $x,y,z$ et le paramètre $a,$ laquelle étant différentiée, en faisant $a$ constant et éliminant $a,$ sera de la forme

$dz=pdx+qdy$