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on aura, pour l’équation des surfaces coupantes,

${\frac {y}{z}}=\varphi \left({\frac {x^{2}+y^{2}+z^{2}}{z}}\right),$

ou, ce qui revient au même,

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=z\varphi \left({\frac {y}{z}}\right),$

$\varphi$ dénotant une fonction arbitraire.

7. Si l’on veut que les surfaces coupantes ne soient pas d’un ordure supérieur au second, il faudra supposer

$\varphi \left({\frac {y}{z}}\right)=2b+2c{\frac {y}{z}},$

et l’on aura alors l’équation

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=2bz+2cy,$

laquelle appartient aussi à une surface sphérique passant par l’origine des coordonnées, mais dont le rayon sera ${\sqrt {b^{2}+c^{2}}},$ et dont le centre sera placé sur une droite menée par l’origine des coordonnées dans le plan des $y$ et $z,$ et faisant avec l’axe des $y$ un angle dont la tangente sera ${\frac {b}{c}}.$

Donc, puisque les constantes $b$ et $c$ sont arbitraires, toute surface sphérique, qui passera par l’origine des coordonnées et dont le centre sera placé dans le plan des $y$ et $z,$ coupera partout à angles droits toutes les sphères qui passeront par la même origine des coordonnées, et qui auront leurs centres placés dans l’axe des $x$ perpendiculaire au plan dont il s’agit.

De là résulte ce Théorème général, que : si par un point donné on mène deux droites perpendiculaires entre elles, et qu’on décrive deux sphères quelconque dont les surfaces passent par ce même point et dont les centres soient placés sur les deux lignes, ces surfaces se couperont partout à angles droits ; et, comme on peut mener par un même point trois droites