Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 4.djvu/647

on aura ces deux formules

$dx=\alpha du-\beta dt,\quad dy=\beta du+\alpha dt,$

qui doivent être intégrables et auxquelles on peut appliquer la méthode connue de M. d’Alembert.

Suivant cette méthode, on multipliera la seconde par ${\sqrt {-1}},$ ensuite on l’ajoutera à la première, et on l’en retranchera, ce qui donnera ces deux-ci

${\begin{aligned}dx+dy{\sqrt {-1}}=&\left(\alpha +\beta {\sqrt {-1}}\right)\left(du+dt{\sqrt {-1}}\right),\\dx-dy{\sqrt {-1}}=&\left(\alpha -\beta {\sqrt {-1}}\right)\left(du-dt{\sqrt {-1}}\right),\end{aligned}}$

lesquelles devant être pareillementintégrables, il s’ensuit que $\alpha +\beta {\sqrt {-1}}$ ne peut être qu’une fonction de $u+t{\sqrt {-1}},$ et $\alpha -\beta {\sqrt {-1}}$ une fonction de $u-t{\sqrt {-1}}\,;$ et ces deux fonctions étant intégrées donneront les valeurs de $x+y{\sqrt {-1}}$ et $x-y{\sqrt {-1}},$ d’où l’on tirera $x$ et $y.$

Dénotons, en général, par les caractéristiques $f$ et $\operatorname {F}$ deux fonction indéterminées quelconques, en sorte que $f(z),\operatorname {F} (z)$ soient deux fonctions quelconques de $z\,;$ dénotons de plus par $f'(z),\operatorname {F} '(z)$ les différentielles de ces fonctions, en sorte que

$f'(z)={\frac {df(z)}{dz}},\quad \operatorname {F} '(z)={\frac {d\operatorname {F} (z)}{dz}}\,;$

on fera

${\begin{aligned}\alpha +\beta {\sqrt {-1}}=&f'\left(u+t{\sqrt {-1}}\right),\\\alpha -\beta {\sqrt {-1}}=&\operatorname {F} '\left(u-t{\sqrt {-1}}\right),\end{aligned}}$

et l’on aura

${\begin{aligned}x+y{\sqrt {-1}}=&f\left(u+t{\sqrt {-1}}\right),\\x-y{\sqrt {-1}}=&\operatorname {F} \left(u-t{\sqrt {-1}}\right)\,;\end{aligned}}$

d’où l’on tire

${\begin{aligned}x=&{\frac {f\left(u+t{\sqrt {-1}}\right)+\operatorname {F} \left(u-t{\sqrt {-1}}\right)}{2}},\\y=&{\frac {f\left(u+t{\sqrt {-1}}\right)-\operatorname {F} \left(u-t{\sqrt {-1}}\right)}{2{\sqrt {-1}}}},\end{aligned}}$

les fonctions désignées par $f$ et $\operatorname {F}$ demeurant arbitraires.