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donc

$q={\frac {\mathrm {B} \int mds+\mathrm {C} }{m}}\,;$

ce qui donnera $q$ en $s,$ si $m$ est déjà donné en $s.$

Donc, si l’on voulait que $m$ fût constante, on aurait

$q=\mathrm {B} s+{\frac {\mathrm {C} }{m}}\,;$

ce qui donne évidemment une ligne droite pour les méridiens de la Terre, et par conséquent un cône droit pour la figure de la Terre.

19. Jusqu’à présent nos formules sont indépendantes de la figure des méridiens de la Terre ; mais, pour pouvoir appliquer ces formules à la construction des Cartes géographiques, il est nécessaire de connaître quelle fonction de la latitude est la variable $u,$ que nous avons supposée telle que $du={\frac {ds}{q}},$ $s$ étant l’arc du méridien compté depuis le pôle et $q$ l’ordonnée perpendiculaire à l’axe de la Terre (3).

Or, si l’on suppose la Terre sphérique, ainsi+qu’on le fait communément dans les Cartes géographiques, et qu’on prenne, pour plus de simplicité, le rayon de la Terre pour l’unité, on aura évidemment

$q=sins,$

et l’arc $s$ sera en même temps la distance au pôle ou le complément de la latitude. Donc on aura dans ce cas

$du={\frac {ds}{\sin s}},$

dont l’intégrale est

$u={\frac {1}{2}}\log {\frac {1-\cos s}{1+\cos s}}=\log \operatorname {tang} {\frac {s}{2}}\,;$

de sorte qu’en ajoutant une constante arbitraire $\log k,$ on aura en général

$u=\log \left(k\operatorname {tang} {\frac {s}{2}}\right),$