Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 4.djvu/698

dées sur des suppositions précaires. C’est ce qui a occasionné les Recherches dont je vais donner le résultat dans ce Mémoire.

---

SECTION PREMIÈRE.

CONSIDÉRATIONS GÉNÉRALES SUR LES ÉQUATIONS FONDAMENTALES DU MOUVEMENT DES FLUIDES.

1. Soit une masse quelconque de fluide que l’on considérera comme composée d’une infinité de particules $dm\ ;$ et soient $x,$ $y,$ $z$ les coordonnées rectangles de chaque particule $dm\ ;$ $p,$ $q,$ $r$ les vitesses de cette particule parallèlement aux mêmes coordonnées et dans le sens dans lequel ces coordonnées augmentent ; et enfin $t$ le temps écoulé depuis le commencement du mouvement. Ces quantités $p,$ $q,$ $r,$ devant appartenir, en général, à chaque particule et à chaque instant du mouvement, ne peuvent être que des fonctions des variables $x,$ $y,$ $z,$ $t\ ;$ et c’est de la détermination de ces fonctions que dépend celle du mouvement du fluide.

Ces fonctions étant connues, on aura, pour le mouvement de chaque particule, les équations

$dx=pdt,\quad dy=qdt,\quad dz=rdt\ ;$

lesquelles, étant intégrées, donneront les valeurs de $x,$ $y,$ $z$ exprimées en $t$ et en trois constantes arbitraires $a,$ $b,$ $c,$ dépendantes du lieu initial de la particule ; ainsi l’on connaîtra le lieu de chaque particule du fluide après un temps quelconque.

Si l’on chasse $dt$ de ces équations, on aura ces deux-ci

$pdy=qdx,\quad pdz=rdx,$

lesquelles expriment la nature des différentes courbes dans lesquelles tout le fluide se meut à chaque instant, courbes qui changent de place et de forme d’un instant à l’autre.

2. Maintenant, à cause de la continuité du fluide, on peut imaginer que chaque particule $dm$ ait la figure d’un parallélépipède rectangle, et