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DU MOUVEMENT DES FLUIDES

de $x,$ $y,$ $z,$ $t.$ Mais par ces substitutions il est visible que $\mathrm {A}$ devient

$\mathrm {A} +{\frac {d\mathrm {A} }{dt}}dt+{\frac {d\mathrm {A} }{dx}}pdt+{\frac {d\mathrm {A} }{dy}}qdt+{\frac {d\mathrm {A} }{dz}}rdt\ ;$

donc on aura, pour la condition dont il s’agit, l’équation

${\frac {d\mathrm {A} }{dt}}+p{\frac {d\mathrm {A} }{dx}}+q{\frac {d\mathrm {A} }{dy}}+r{\frac {d\mathrm {A} }{dz}}=0,$

laquelle devra par conséquent avoir lieu en même temps que l’équation $\mathrm {A} =0$ de la surface.

Si le fluide est contenu par des parois d’une figure donnée, il est clair que la partie de la surface du fluide, laquelle sera contiguë à ces parois, devra avoir la même figure que les parois ; ainsi l’équation $\mathrm {A} =0$ devra être celle de la figure donnée des parois.

Mais, dans les endroits où la surface du fluide sera libre, il faudra que la pression $\Pi$ y soit nulle ; et si le fluide y était comprimé à l’extérieur par des forces quelconques données $\mathrm {F} ,$ il faudrait que ces forces fussent égales et de direction contraire aux pressions $\Pi .$ Ainsi on aura dans le premier cas $\Pi =0,$ et dans le second $\Pi =\mathrm {F} ,$ pour l’équation de la surface libre du fluide.

Désignant donc, en général, ces équations par

$\mathrm {B} =0,$

on prendra $\mathrm {B}$ à la place de $\mathrm {A} ,$ et l’on aura, pour la condition que les mêmes particules du fluide soient toujours à la surface, l’équation

${\frac {d\mathrm {B} }{dt}}+p{\frac {d\mathrm {B} }{dx}}+q{\frac {d\mathrm {B} }{dy}}+r{\frac {d\mathrm {B} }{dz}}=0,$

laquelle devra subsister en même temps que l’équation $\mathrm {B} =0,$ et par conséquent appartenir à la même surface courbe.

11. L’équation

${\frac {d\mathrm {A} }{dt}}+p{\frac {d\mathrm {A} }{dx}}+q{\frac {d\mathrm {A} }{dy}}+r{\frac {d\mathrm {A} }{dz}}=0,$

est intégrable par la méthode générale que j’ai donnée pour ces sortes d’é-