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MÉMOIRE SUR LA THÉORIE
la Théorie du mouvement des fluides élastiques ou non ; ainsi il est important d’examiner dans quels cas cette supposition peut et doit avoir lieu.
Soit, pour abréger,
![{\displaystyle \alpha ={\frac {dp}{dy}}-{\frac {dq}{dx}},\quad \beta ={\frac {dp}{dz}}-{\frac {dr}{dx}},\quad \gamma ={\frac {dq}{dz}}-{\frac {dr}{dy}}\ ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/198d8429100a37eea0c0fa912730c4feb3d852c3)
le premier membre de l’équation du no 14 deviendra de cette forme
![{\displaystyle {\frac {dp}{dt}}dx+{\frac {dq}{dt}}dy+{\frac {dr}{dt}}dz+\alpha \left(qdx-pdy\right)+\beta \left(rdx-pdz\right)+\gamma \left(rdy-qdz\right)\ ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77f4507aad912e69d760720a9ec4f82142edf761)
et la question se réduit à faire en sorte que cette quantité soit une différenitielle exacte,
étant des fonctions de
![{\displaystyle t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e6cc375ac6123d2342be53eba87b92fbbacf07)
Supposons que
soit une quantité fort petite, il est visible qu’on pourra donner à
les formes suivantes
![{\displaystyle {\begin{aligned}p&=p'+p''t+p'''t^{2}+p^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}t^{3}+\ldots ,\\q&=q'+q''t+q'''t^{2}\,+q^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}t^{3}+\ldots ,\\r&=r'+r''t\,+r'''t^{2}+r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}t^{3}+\ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa7fd52e4e869860bea59a8f0cbda227f9267232)
dans lesquelles
seront des fonctions de
sans ![{\displaystyle t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e6cc375ac6123d2342be53eba87b92fbbacf07)
Ces valeurs étant substituées dans les trois quantités
elles deviendront
![{\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=\alpha '+\alpha ''t+\alpha '''t^{2}+\alpha ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}t^{3}+\ldots ,\\\beta &=\beta '+\beta ''t\,+\beta '''t^{2}+\beta ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}t^{3}+\ldots ,\\\gamma &=\gamma '\,+\gamma ''t\,+\gamma '''t^{2}+\gamma ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}t^{3}+\ldots ,\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90a3663ef6d51a24d2eda965d8e250793ac0dc8b)
en supposant
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}\alpha '&={\frac {dp'}{dy}}-{\frac {dq'}{dx}},\quad &\alpha ''&={\frac {dp''}{dy}}-{\frac {dq''}{dx}},\quad &\alpha '''&={\frac {dp'''}{dy}}-{\frac {dq'''}{dx}},\ldots ,\\\beta '&={\frac {dp'}{dz}}-{\frac {dr'}{dx}},&\beta ''&={\frac {dp''}{dz}}-{\frac {dr''}{dx}},&\beta '''&={\frac {dp'''}{dz}}-{\frac {dr'''}{dx}},\ldots ,\\\gamma '&={\frac {dq'}{dz}}-{\frac {dr'}{dy}},&\gamma ''&={\frac {dq''}{dz}}-{\frac {dr''}{dy}},&\gamma '''&={\frac {dq'''}{dz}}-{\frac {dr'''}{dy}},\ldots .\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12de7694372474b2ff2030cb1ef5c25557111c27)