est une différentielle exacte lorsque elle devra l’être aussi lorsque aura une valeur quelconque très-petite ; d’où l’on peut conclure, en général, que cette quantité devra être toujours une différentielle exacte, quelle que soit la valeur de Car puisqu’elle doit l’être depuis jusqu’à ( étant une quantité quelconque donnée très-petite), si l’on y substitue partout à la place de on prouvera de même qu’elle devra être une différentielle exacte depuis jusqu’à par conséquent elle le sera depuis jusqu’à et ainsi de suite.
Donc, en général, comme l’origine des est arbitraire, et qu’on peut prendre également positif ou négatif, il s’ensuit que si la quantité
est une différentielle exacte dans un instant quelconque, elle devra l’être pour tous les autres instants. Par conséquent, s’il y a un seul instant dans lequel elle ne soit pas une différentielle exacte, elle ne pourra jamais l’être pendant tout le mouvement ; car si elle l’était dans un autre instant quelconque, elle devrait l’être aussi dans le premier.
20. Lorsque le mouvement commence du repos, on a alors
lorsque donc
sera intégrale pour ce moment, et par conséquent devra l’être toujours pendant toute la durée du mouvement.
Mais, s’il y a des vitesses imprimées au fluide au commencement du mouvement, tout dépend de la nature de ces vitesses, selon qu’elles seront telles, que
soit une quantité intégrable ou non ; dans le premier cas la quantité
sera toujours intégrable, et dans le second elle ne le sera jamais.
