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MÉMOIRE SUR LA THÉORIE

dans lesquelles, à cause que $p,$ $q,$ $r$ sont supposées très-petites et que par conséquent $dx,$ $dy,$ $dz$ sont très-petites vis-à-vis de $dt,$ on pourra regarder $x,$ $y,$ $z$ comme constantes vis-à-vis de $t.$ De sorte qu’en traitant $t$ seule comme variable dans $p,$ $q,$ $r,$ et ajoutant les constantes arbitraires $a,$ $b,$ $c,$ on aura sur-le-champ

$x=a+\int pdt,\quad y=b+\int qdt,\quad z=c+\int rdt.$

Donc si l’on fait, pour abréger,

$\Phi =\int \varphi dt,$

et qu’on y change $x,$ $y,$ $z$ en $a,$ $b,$ $c,$ on aura

$x=a+{\frac {d\Phi }{da}},\quad y=b+{\frac {d\Phi }{db}},\quad z=c+{\frac {d\Phi }{dc}}\ ;$

et les quantités $a,$ $b,$ $c$ seront les valeurs initiales de $x,$ $y,$ $z$ pour chaque particule du fluide, si l’on prend la fonction $\Phi$ de manière qu’elle soit nulle lorsque $t=0.$

23. Le cas dont nous venons de traiter a lieu surtout dans la Théorie de la propagation du son. En supposant, comme dans le n^o  16, $\Pi =k\Delta ,$ et ne conservant que les premières dimensions de la quantité $\varphi$ supposée très-petite, on aura

$k\log \Delta =\mathrm {V} -{\frac {d\varphi }{dt}},$

et l’équation en $\varphi$ sera

$k\left({\frac {d^{2}\varphi }{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi }{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi }{dz^{2}}}\right)-{\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}+{\frac {d\varphi }{dx}}{\frac {d\mathrm {V} }{dx}}+{\frac {d\varphi }{dy}}{\frac {d\mathrm {V} }{dy}}+{\frac {d\varphi }{dz}}{\frac {\mathrm {V} }{dz}}=0.$

Or dans l’état de repos ou d’équilibre on a $\varphi =0,$ donc

$k\log \Delta =\mathrm {V} ,$

et par conséquent

$\Delta =e^{\tfrac {\mathrm {V} }{k}}.$

Supposons donc que la densité naturelle de l’air soit augmentée, lors-