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DU MOUVEMENT DES FLUIDES

35. Enfin l’équation de la surface extérieure du fluide sera $\Pi =0,$ savoir

\Pi '+z\Pi ''+z^{2}\Pi '''+z^{3}\Pi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+\ldots =0.

Et l’équation de condition pour que les mêmes particules demeurent toujours à la surface sera après les substitutions et les réductions (31 et 33)

{\begin{aligned}{\frac {d\Pi '}{dt}}&+{\frac {d\varphi '}{dx}}{\frac {d\Pi '}{dx}}+{\frac {d\varphi '}{dy}}{\frac {d\Pi '}{dy}}+\varphi ''\Pi ''\\&+z\left[{\frac {d\Pi ''}{dt}}+{\frac {d\varphi ''}{dx}}{\frac {d\Pi '}{dx}}+{\frac {d\varphi '}{dx}}{\frac {d\Pi ''}{dx}}\right.\\&\left.\quad \quad +{\frac {d\varphi ''}{dy}}{\frac {d\Pi '}{dy}}+{\frac {d\varphi '}{dy}}{\frac {d\Pi ''}{dy}}+2\varphi ''\Pi '''-\left({\frac {d^{2}\varphi '}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi '}{dy^{2}}}\right)\Pi ''\right]\\&+z^{2}\left[{\frac {d\Pi '''}{dt}}+{\frac {d\varphi ''}{dx}}{\frac {d\Pi ''}{dx}}+{\frac {d\varphi '}{dx}}{\frac {d\Pi '''}{dx}}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {d^{3}\varphi '}{dx^{3}}}+{\frac {d^{3}\varphi '}{dxdy^{2}}}\right){\frac {d\Pi '}{dx}}\right.\\&\quad \quad +{\frac {d\varphi ''}{dy}}{\frac {d\Pi ''}{dy}}+{\frac {d\varphi '}{dy}}{\frac {d\Pi '''}{dy}}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {d^{3}\varphi '}{dx^{2}dy}}+{\frac {d^{3}\varphi '}{dy^{3}}}\right){\frac {d\Pi '}{dy}}\\&\left.\quad \quad -\left({\frac {d^{2}\varphi '}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi '}{dy^{2}}}\right)\Pi '''+3\varphi ''\Pi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {d^{2}\varphi ''}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi ''}{dy^{2}}}\right)\Pi ''\right]\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots =0.\end{aligned}}

Ainsi, chassant $z$ de ces deux équations, on aura une équation sans $z$ qui devra subsister d’elle-même pour tous les points de la surface dont il s’agit.

Du mouvement d’un fluide qui coule dans un vase étroit et presque vertical.

36. Imaginons maintenant que le fluide coule dans un vase étroit et à peu près vertical, et supposons que les abscisses $x$ soient verticales et dirigées de haut en bas ; on aura (29)

\xi =0,\quad \eta =90^{\circ },\quad \zeta =90^{\circ }\ ;

donc

\cos \xi =1,\quad \cos \eta =0,\quad \cos \zeta =0.